Generalización del teorema de continuidad de Lévy para espacios nucleares

Question

Estoy interesado en una generalización de los siguientes resultados de dimensión finita en el espacio vectorial de dimensión infinita con estructura nuclear, especialmente para los casos de los espacios de distribuciones $\mathcal{D}'(\mathrm{R}^N)$ y $\mathcal{S}'(\mathrm{R}^N)$ .

Teorema 1: Sea $X_n$ , $n\in\mathbb{N}$ y $X$ sean variables aleatorias en $\mathbb{R}^N$ y $\Phi_n$ y $\Phi$ sus funciones características. Entonces, $$\left( X_n \overset{\mathcal{L}}{\rightarrow} X \right) \Leftrightarrow \left( \forall \omega, \Phi_n(\omega) \rightarrow \Phi(\omega) \right).$$

Teorema 2: (Teorema de continuidad de Lévy) De nuevo, el $X_n$ son variables aleatorias y el $\Phi_n$ son sus funciones características. Supongamos que el límite $\lim \Phi_n(\omega)$ existe puntualmente y se denota por $\Phi(\omega)$ . Tenemos entonces la equivalencia:

• $(X_n)$ converge en ley a alguna variable aleatoria $X$ .

• $\Phi$ es continua en $0$ .

Ahora preciso mi pregunta. Dada una medida de probabilidad $\mu$ en $\mathcal{N}' = \mathcal{D}'(\mathrm{R}^N)$ o $\mathcal{S}'(\mathrm{R}^N)$ podemos definir su función característica en $\mathcal{N}$ por $$\hat{\mu}(\varphi) = \int_{\mathcal{N}'} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \langle u , \varphi \rangle} \mathrm{d}\mu (u).$$ Esto generaliza el concepto de función característica de una variable aleatoria (el teorema de Bochner es generalizado por el teorema de Minlos). ¿Es cierto el siguiente resultado?

Posible generalización del teorema 1: Sea $\mu_n$ , $n\in\mathbb{N}$ y $\mu$ sean medidas de probabilidad sobre $\mathcal{N}'$ y $\hat{\mu}_n$ y $\mu$ sus funcionales características. Entonces, $$\left( \mu_n \overset{\mathrm{weakly}}{\rightarrow} \mu \right) \Leftrightarrow \left( \forall \varphi, \hat{\mu}_n(\varphi) \rightarrow \mu(\varphi) \right).$$

Del mismo modo, ¿podemos generalizar el teorema de continuidad de Lévy?

Gracias por su atención.

Answer 1

Existe un resultado parcial debido a Boulicaut (1973), que afirma lo siguiente

Teorema: Sea $E$ sea un espacio vectorial topológico separable metrizable Hausdorff localmente convexo. Entonces $E$ es nuclear si y sólo si para cada secuencia $\{\mu_n\}$ de medidas de probabilidad ajustadas, convergencia débil a una medida de probabilidad ajustada $\mu$ es equivalente a la convergencia puntual de las funciones características de $\mu_n$ al ch. f. de $\mu$ .

Esto hace que las funciones características(al)s sean más útiles que en los espacios de Banach separables, donde sólo se utilizan para la unicidad pero no para la convergencia débil.