Es una función diferenciable $g(x)$ una función estrictamente creciente si $g'(x)>0$ ?

Question

Sí, creo que una función diferenciable $g(x)$ es una función estrictamente creciente si y sólo si $g'(x)>0$ pero no estoy seguro de por qué.

¿Existe un teorema para ello?

Informalmente sé que si $g(x)$ es diferenciable y $g'(x)>0$ entonces el $g(x)$ es estrictamente creciente. Y si $g(x)$ es diferenciable y $g'(x)<0$ entonces el $g(x)$ es estrictamente decreciente.

Answer 1

No. La función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $g(x) = x^3$ es estrictamente creciente y cumple $g'(0) = 0$ .

Si una función $g$ es (no necesariamente) creciente y diferenciable, entonces $g'(x) \ge 0$ para todos $x$ . Esto es una consecuencia directa de la definición de la derivada.

Answer 2

He aquí una estrictamente creciente $C^1$ función en $\mathbb {R}$ cuya derivada $=0$ en un conjunto incontable: Sea $K$ denota el conjunto de Cantor. Para $x\in \mathbb R,$ configure $g(x) = d(x,K).$ Entonces $g$ es continua en $\mathbb {R}, g = 0$ en $K,$ y $g>0$ en $\mathbb {R}\setminus K.$

Establecer $G(x) = \int_0^xg.$ Entonces $G'=g$ en todas partes por la FTC, lo que implica $G' = 0$ en $K,$ un conjunto incontable. Para ver que $G$ es estrictamente creciente, recordemos que $\mathbb {R}\setminus K$ es denso en $\mathbb {R}.$ Así, si $x<y,$ $g$ será positivo en algún punto intermedio, por lo tanto positivo en un intervalo de longitud positiva contenido en $(x,y),$ de ahí $G(y)-G(x) = \int_x^yg >0.$