Creo que no ha utilizado la condición de que $\color{blue}{n=m=4}$ .
Regla de Simpson para integrales dobles: $$\int_a^b\int_c^df(x,y) dx dy$$ viene dado por $$S_{mn}=\frac{(b-a)(d-c)}{9mn} \sum_{i,j=0,0}^{m,n} W_{i,j} f(x_i,y_j) $$ donde: $$W= \begin{bmatrix} 1&4&2&4& \ldots &4&1\\ 4&16&8&16&\ldots&16&4\\ 2&8&4&8&\ldots&8&2\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\\ 1&4&2&4&\ldots&4&1\\ \end{bmatrix}$$
Crédito: Otro post sobre el intercambio de pilas
Observación:
Observe también que $$\int_{2.1}^{2.5} \int_{1.2}^{1.4} xy^2\,\, dy dx=\left( \int_{1.2}^{1.4} y^2\, dy\right)\left(\int_{2.1}^{2.5} x\, dx \right) $$
Edita:
He implementado el cálculo de la regla de Simpson para esta pregunta en Python.
Editar $2$ :
Que el $0$ -vector de índices $v=[1,4,2,4,1]$ . Obsérvese que tenemos $W_{i,j}=v_iv_j$ .
Por la regla de Simpson, \begin{align}\int_{2.1}^{2.5} \int_{1.2}^{1.4} xy^2\,\, dx dy &\approx \frac{(2.5-2.1)(1.4-1.2)}{9mn}\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n W_{i,j}f(x_i,y_j) \\ &=\frac{0.08}{144} \sum_{i=0}^4 \sum_{j=0}^4 v_iv_j x_iy_j^2 \\ &=\frac{1}{1800} \left(\sum_{i=0}^4 v_ix_i \right) \left(\sum_{j=0}^4v_jy_j^2 \right) \end{align}
Tenemos
\begin{align} \sum_{i=0}^4 v_i x_i = (1)(2.1)+(4)(2.2)+(2)(2.3)+(4)(2.4)+(1)(2.5)= 27.6 \end{align}
y
\begin{align} \sum_{j=0}^4 v_j y_j^2 = (1)(1.2^2)+(4)(1.25^2)+(2)(1.3^2)+(4)(1.35^2)+(1)(1.4^2)= 20.32 \end{align}
Por lo tanto
$$\int_{2.1}^{2.5} \int_{1.2}^{1.4} xy^2\,\, dx dy \approx \frac{(27.6)(20.32)}{1800} \approx 0.3115733$$
