Utilización de la fórmula de Riemann Hurwitz

Question

Estoy trabajando con la función $f(z)=\frac{z^3}{1-z^2}$ de la Esfera de Riemann a sí misma. Intento demostrar que esto satisface la fórmula de Riemann-Hurwitz dada

$$2g(X)-2=\deg(F)(2g(Y)-2)+\sum_{p}(\text{mult}_p(f)-1)$$

Los géneros de dominio y alcance son iguales e iguales a $0$ . La función $f$ es un mapa de grado tres porque exactamente tres cosas se asignan a $\infty$ . Sólo $p=0$ tiene multiplicidad $3$ y este es el único punto con multiplicidad mayor que uno. Pero entonces obtengo Riemann-Hurwitz como $$-2= 3(-2)+(3-1)$$ que es básicamente $-2=-4$ que es una completa basura. ¿Qué estoy haciendo mal? :(

Answer 1

Lo que estás viendo es que debe haber otras ramificaciones de las que no te has dado cuenta. De hecho, a partir de una teoría de representación del grupo simétrico (no te preocupes si no sabes lo que es eso), se puede demostrar que no es posible que exista un mapa de $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ que se ramifica en un solo punto.

(La descripción corta: los puntos de ramificación corresponden a permutaciones, y con respecto a $\mathbb{P}^1$ estamos hablando de cuántas maneras podemos factorizar una permutación dada (digamos, la que está sobre 0) en tipos de ciclos dados por la ramificación. Sin embargo, si sólo hay una permutación sobre 0, entonces estamos tratando de factorizar la permutación $(1\, 2\, 3)$ en... sin permutaciones).

De todas formas, puedes ver que hay otras ramificaciones mirando la derivada. Será cero exactamente en cualquier punto de ramificación, y su orden de desaparición en el punto es el índice de ramificación. En tu caso, viene dado por $$ f'(z) = z^2\frac{3-z^2}{(1-z^2)^2} $$ y así se puede ver que, además de ser ramificado en 0, esto también es simplemente ramificado en $\pm \sqrt{3}$ .