Demostrando que $\frac{m}{n}$ es positivo si $mn > 0$

Question

Se nos da que $\frac{m}{n} = \frac{p}{q} \iff qm = pn$

Definimos $\frac{m}{n}$ como positivo si $mn > 0$

Demuestre que la definición de $\frac{m}{n}$ está bien definida.

Intento:

Lo que necesito demostrar es que para cualquier fracción equivalente a $\frac{m}{n}$ que la definición también se cumple. Así que tomemos $\frac{p}{q}$ de la misma clase de equivalencia que $\frac{m}{n}$ . Como son de la misma clase de equivalencia esto significa: $$qm = pn$$

No estoy seguro de qué tipo de manipulación algebraica debería intentar. Sé que me gustaría llegar a $pq > 0$ y siento que sólo implica conseguir $qm = pn \implies mn = pq$ .

Pero, ¿cómo conseguirlo?

Answer 1

Sugerencia :

$$\frac{p}{q}=\frac{pq}{q^2}$$

Answer 2

Supongamos que $mn>0$ y $m/n=p/q$ . Entonces $mq=np$ y así $m^2q^2=mnpq$ . Si $pq<0$ entonces $mnpq<0$ una contradicción con $m^2q^2>0$ .

Para añadir algunos detalles, observe que $m\ne0$ de lo contrario $mn=0$ lo cual es imposible. Dado que $q\ne0$ tenemos $mq\ne0$ y por lo tanto $(mq)^2>0$ .

Answer 3

$pqn^2 = q^2 mn\ge 0$ .

Si $pqn^2 = 0$ $\Leftrightarrow$ $p=0$ o $q=0$ $\Leftrightarrow$ $pq = 0$