Cómo probar continuidad de $e^x$.

Question

Simplemente quiero una prueba de que $e^x$ es continua.

Nunca he sido realmente capaz de encontrar algo para satisfacer estos puntos:

1. $e$ se define como el límite de la $\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n$. Esto no es esencial, y otra definición razonable puede ser utilizado si lo que simplifica considerablemente las cosas. EDIT: De hecho, realmente no importa lo que la base se toma. Cualquier número, o un general $a^x$, estaría bien.

2. Para enteros positivos, definimos $a^n:=a\times a\times\cdots\times a$ donde hay $n$ multiplicaciones. Luego nos vamos a $a^0=1$$a^{-n}=1/a^n$. Para las raíces, $a^{1/n}$ el (principal) número de $x$ tal que $x^n=a$. Para general racionales, $a^{b/c}=(a^{1/c})^b$ $c$'th raíz trajo a la $b$'th poder. Y para los números irracionales $x$, $a^x=\lim{a^n}$ donde $n$ es una secuencia de números racionales que converge a $x$.

En otras palabras, quiero una prueba de la exponencial de la continuidad de la derivada de la "aritmética" de la definición de sí mismo. La razón que pido es porque como estudiante nunca he tenido una intuición de por qué un número traído a dos buenos exponentes habría de producir respuestas similares. Por ejemplo, ¿por qué $$2^{1/2}\approx 2^{47/99}$$ I thought? After all, one has a $99$'th root to a $47$'th poder, y el otro es una raíz cuadrada.

Ahora sé que yo estaba buscando una prueba de la continuidad... y todavía estoy buscando. Por favor, no utilice nada avanzado - el niño que hay en mí todavía gime a una, cuando veo a la gente 'definir' $e^x$ como una potencia de la serie, porque sé que estudiantes de todo el mundo (como yo) se confundan.

También, quiero la prueba convincente, como no me pueden dormir bien por la noche, pero no tiene que ser el dolor de cabeza-inducingly exhaustiva. Por ejemplo, yo no derivar algunas de las leyes de los exponentes. Yo no explicar lo que quiero decir con un número irracional, o demostrar que el límite debe existir y ser únicos, etc. Estos se deben tomar como hecho - lo que yo quiero es una sencilla prueba de continuidad basado en el "real" (!) definición que podría ser explicado a un cálculo avanzado estudiante frustrado acerca de esta cuestión y listo para empujar a sí mismos para aprender - en otras palabras, a mi pasado.

Answer 1

Fix $a>1$ (en el caso de $a=1$ es trivial, y $0<a<1$ puede ser manejado por el cambio a $a^{-1}>1$). Voy a asumir estándar de hechos acerca de la $n\mapsto a^n$ $n\in\Bbb Z$ son conocidos (es creciente y cumple con la ley de los exponentes). Ahora a discutir la continuidad de la $\frac bc\mapsto a^{b/c}=(\sqrt[c]a)^b$ en el conjunto de los números racionales $\frac bc$, que es denso en$~\Bbb R$, se puede proceder con los siguientes pasos.

1. $a^{b/c}$ está bien definida, es decir, independiente de la representación de los números racionales $\frac bc$. Esto significa que siempre que $\frac bc=\frac pq$, lo que significa por definición que $bq=cp\neq0$, uno debe tener una $(\sqrt[c]a)^b=(\sqrt[q]a)^p$. Tomando entero positivo poderes es una inyectiva operación ($x^n=y^n$ implica $x=y$), por lo que nos elevamos ambos lados a la alimentación de $cq$ (que se supone positivo), por lo que debemos demostrar que $(\sqrt[c]a)^{bcq}=(\sqrt[q]a)^{pcq}$; ahora podemos cancelar cada raíz en contra de parte de la exponente, y no queda de demostrar a $a^{bq}=a^{cp}$, que es clara.

2. La función de $\frac bc\mapsto a^{b/c}$ es estrictamente creciente: si $\frac bc<\frac pq$$a^{b/c}<a^{p/q}$. Dado el punto anterior, uno puede asumir que las fracciones tienen un común denominador $c=q$. Elevar ambos lados de este poder (que tampoco es estrictamente creciente operación) significa que es suficiente para mostrar $a^b<a^p$; de nuevo, esto está claro.

3. Este aumento de la función tiene ningún salto discontinuidades*: para cualquier intervalo abierto no vacío$~I$ de los números reales positivos, hay algunos $\frac bc$ $a^{b/c}\in I$ (un salto de discontinuidad daría tal intervalo sin imágenes). Si $I=(x,y)$ puesto $\gamma=y/x\in\Bbb R_{>1}$, y deje $n\in\Bbb N$ ser lo suficientemente grande que $\gamma^n>a$. A continuación,$y^n>ax^n$, por lo que hay algunos potencia entera $a^m$$a$$x^n<a^m<y^n$. Tomando $n$-th raíces (de nuevo una estrictamente creciente operación) se deduce que uno ha $x<a^{m/n}<y$, en otras palabras $a^{m/n}\in I$.

4. Cualquier aumento de la función$~f$ definido en un denso conjunto y sin discontinuidades de salto es continua. Dado $x$ en el dominio de $f$, e $\epsilon>0$, encontrar los valores de $x_<,x_>$ $f(x_<)\in(f(x)-\epsilon,f(x))$ $f(x_>)\in(f(x),f(x)+\epsilon)$ por punto de$~$3, y tome $\delta=\min(x-x_<,x_>-x)$. A continuación, para todos los $x'$ $|x-x'|<\delta$ ha $x'\in(x_<,x_>)$ $f(x')\in(f(x_<),f(x_>))$ por el aumento de la propiedad de$~f$, e $(f(x_<),f(x_>))\subset(f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)$, por lo que el $|f(x)-f(x')|<\epsilon$.

Esto todavía no completamente responder a su pregunta, para lo cual es necesario para demostrar que cualquier función como en 4. puede ser el único interpolados a un continuo aumento de la función definida en $\Bbb R$. Para $x_0$ no en el dominio $D$ $f$ (aquí un número irracional) uno quiere tener $f(x_0)=\lim_{x\to x_0, x\in D}f(x)$. Para demostrar que el límite existe, uno de los usos que se $\sup\{\,f(x)\mid x\in D_{<x_0}\,\}=\inf\{\,f(x)\mid x\in D_{>x_0}\,\}$ (por la ausencia de discontinuidades de salto), que va a ser el valor del límite; ahora la prueba de que el límite converge se puede hacer mediante la búsqueda de los valores en $D$ lo suficientemente cerca para que el valor límite y algunos más fácil, pero aburrida, estimaciones, que no voy a hacer aquí (como por el dolor de cabeza-evitar petición). También la prueba de que la función extendida todavía es continua y creciente es sencillo.

*Esta terminología no es muy adecuada, ya que la función $\Bbb P \a\Bbb R$ sending $x\mapsto x+[x^3>2]$ (the brackets meaning $1$ if the condition holds, $0$ de lo contrario) es continua en su dominio, por lo que es algo injusto acusar de haber un salto de discontinuidad, ya que ello implica. El término correcto para lo que yo llamo "la función sin discontinuidades de salto" sería algo así como "la función del cierre de cuya imagen está conectado" (suponiendo un aumento de la función definida en un denso conjunto en ambos casos), no es muy atractivo.

Answer 2

$\mathbf{Result \; 1}$: Si $a > 0 $,$\lim_{n \to \infty } a^{\frac{1}{n}} = 1 $.

Si desea una solución a este problema, que me haga saber.

$\mathbf{Result \; 2} $: Si $a> 0$, $f(x) = a^x$ es continua en a $\mathbb{R}$

$\mathbf{Solution}:$ Deje $a>0$, y deje $\epsilon >0$ .Vamos a emplear la secuencia de la caracterización de la continuidad. Esto significa que para cualquier secuencia $(x_n) \subseteq \mathbb{R}$$x_n \to x$,$f(x_n) \to f(x)$. Para mostrar esto, vamos a $(x_n) \subseteq \mathbb{R}$ ser una secuencia arbitraria tal que $x_n \to x$. Aviso por la aritmética,

$$ a^{x_n} - a^x = a^x(a^{x_n-x} - 1) $$

Por el resultado anterior, podemos obtener un $N \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N$,

$$ |a^{\frac{1}{n}} - 1 | < \frac{\epsilon}{a^x} $$

Del mismo modo, desde la $x_n \to x$, podemos seleccionar $K \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > K$,

$$ |x_n - x| < \frac{1}{N} $$

Por lo tanto, si la ponemos a $M = \max\{N,K\} $, tenemos

$$ |f(x_n) - f(x) | = |a^{x_n} - a^x| = a^x|a^{x_n-x} - 1| < a^x \frac{ \epsilon}{a^x} = \epsilon$$

Por lo tanto, por definición, $f(x_n) \to f(x) $. En particular, $f(x) = a^x$ es continuo como se desee.

$\mathbf{Proposition}:$ $\exp(x) $ es continua en a $\mathbb{R}$.

$\mathbf{Solution}:$ Aplican $\mathbf{Result \; 2}$$a = e$, y hemos terminado.

Answer 3

Bueno, voy a ser un poco terco aquí y voy a tratar de convencerte de que la definición de $e^x$ como una potencia de la serie es realmente mejor. (Respetando su segundo deseo, no voy a entrar en muchos tecnicismos)

En primer lugar, permítanme decir algo: la Gente suele pensar que los matemáticos hacen las cosas en orden para complicar las cosas sencillas. El hecho es que la mayoría de veces, el matemático realidad es simplificar las cosas. Como regla general, con el fin de simplificar algo, usted necesita para hacer una teoría, y la más quieres simplificar, el más abstracto o difícil entender la teoría.

Ahora, bien, vamos a hacer una función llamada $\xi (x)$, definido por:

$\displaystyle \xi (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ (Aquí, adoptamos $0^0=1$ para evitar la anotación complicaciones)

Ahora, no tenga miedo de esta definición (ni siquiera tuve que decir que esta es la exponencial! Este es un auxiliar de la función, por ahora)

Las cosas importantes son:

1. $\xi$ es continua. (Esto sigue siendo una potencia de la serie)
2. $\xi (x+y) = \xi(x)\xi(y)$. (Esto se deduce de la Fórmula de Producto de Cauchy)
3. $\xi$ está definida para TODOS los reales. (Esto es una simple observación, pero va a ser muy útil)
4. $\xi(0)=1$, $\xi(1)=e$

Y ahora, vamos a echar un vistazo a la función de llamar "exponencial". Vamos a llamar a $\exp$. Tenemos:

1. $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ todos los $n \in \mathbb{N}$ (espero que esto está claro)

2. $\exp(0)=1$, $\exp(1)=e$

Ahora, para $n \in \mathbb{N}$, tenemos que $\exp(n)=\exp(1)...\exp(1)$ $n$ veces=$\exp(1)^n$

Para $-n$ entero negativo, tenemos que $1=\exp(0)=\exp(n-n)=\exp(n)\exp(-n)$, por lo tanto $\displaystyle \exp(-n)=\frac{1}{\exp(n)}=\frac{1}{\exp(1)^n}=\exp(1)^{-n}$

Para $a=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, $\exp(p)=\exp(q.\frac{p}{q})=\exp(\frac{p}{q}+\frac{p}{q}+...+\frac{p}{q})$ $q$ veces $=\exp(p/q)^q$. Por lo tanto, $\exp(\frac{p}{q})=\exp(p)^{1/q}=(\exp(1)^p)^{1/q}$

Ahora, tenga en cuenta lo siguiente:

• He calculado los valores de $\exp(x)$ todos los $x$ racional utilizando sólo las propiedades que $\xi$ $\exp$ tienen en común. Por lo tanto, $\xi$ coincide con $\exp$ en los racionales.
• Por la observación anterior, se tiene de inmediato que $\exp$ es continua en los racionales, como una restricción de una función continua es continua.

Bien, ahora que ya tenemos ese $\xi$ está definida para TODOS los reales, podríamos muy bien decir:

Bien, realice $\xi$ ser lo que vamos a llamar a $\exp$ para los reales, entonces.

Pero podemos hacer más. Desde $\exp$ coincide con $\xi$ en un denso conjunto de ($\mathbb{Q}$), si queremos que se extienden continuamente, la ÚNICA forma es que la extensión a $\xi$ (tal vez esto no es claro para usted, pero es un teorema, que se expresa de la siguiente manera, y se mantiene en una forma más general de la situación:)

Dos funciones continuas que son iguales en un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ son iguales en todo el dominio.

Ahora, nótese la ironía. Usted comenzó a preguntar el por qué de $\exp$ es continua, y se deriva de la muy "fácil" que $\exp$ es continua en los racionales, y la motivación vino como si podíamos tener una continua "$\exp$" en los reales.

Solo para cerrar, usted puede sentir como que estoy haciendo trampa en que requieren una extensión continua. Bueno, yo no lo soy. Siguiendo su intuición, yo diría que las únicas cosas que usted considere la exponencial, sin duda satisface es $\exp(x+y)=\exp(x).\exp(y)$, $\exp(0)=1$ y $\exp(1)=e$. Bueno, hay un MONTÓN de no-funciones continuas, para satisfacer esta en $\mathbb{R}$, coincidiendo con los valores de $\exp$ en los racionales. Y, por cierto, su manera de definir el $\exp$ reales como los límites de las secuencias es blalantly, explícitas que lo requieran para ser continua en $\mathbb{R}$.

EDIT: Apéndice: ¿por Qué teniendo en cuenta ESTA serie:

Lo $\exp$ va a ser, queremos que $\exp(x+y)=\exp(x).\exp(y)$

Ahora, digamos que debe adivinar una potencia de serie para $\exp(x)$

$$\exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

Bien, $\displaystyle \exp(x+y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x+y)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_n\frac{n! x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nn!\sum_{k=0}^{n}\frac{ x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!}$ , por el teorema del binomio.

Pero, oye, mira! El lado derecho está pidiendo el producto de cauchy de la fórmula. Si ese $a_n.n!$ se $1$... entonces, el lado derecho sería $\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{y^m}{m!}\right)$. Así que, ¿por qué no? Deje $a_n.n!$$1$,! Por lo tanto, tenemos $\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}$. Ahora, miro hacia atrás en la serie para $\exp$, y percibir nuestra suerte.

Answer 4

Considere la función $f:(0,\infty)\to\mathbb R$ tal que $f(x)=\int_1^x\frac{\mathrm dt}{t}$. Este es continua, diferenciable y, de hecho, $f'(t)=1/t$ todos los $t\in(0,\infty)$. En particular, es claro que $f'(t)>0$ todos $t$, de modo que $f$ es estrictamente creciente en su dominio. Algunos trabajos se demuestra que $f$ no está limitado ni por encima, no por debajo -de hecho, y por ejemplo, el primero es equivalente a la afirmación de que la integral de la $\int_1^\infty\frac{\mathrm dt}{t}$ diverge.

Ahora tenemos

Si $h:(a,b)\to(c,d)$ es continua, estrictamente creciente en función de la cual se surjective, entonces existe una función inversa $h^{-1}:(c,d)\to(a,b)$ y es en sí misma también continua y estrictamente creciente.

Esto se aplica a nuestra $f$, y muestra que tiene una función inversa $f^{-1}:\mathbb R\to(0,\infty)$ que es continuo. Desde este supuesto, la función exponencial, hemos demostrado lo que quería.

Más tarde. Observe que uno puede definir la exponencial functio de esta manera -y lo clásico, demasiado. En cualquier caso, es muy fácil comprobar que es la exponencial. Deje $h=f^{-1}$. Un cambio de variables muestra que $f(xy)=f(x)+f(y)$, por lo que la aplicación funciones inversas vemos que $h(x+y)=h(x)h(y)$. De ello se desprende que $(h(x+y)-h(x))/y=h(x)(h(y)-1)/y$ y, ya sabemos que $h$ es diferenciable, se deduce que el $h'(x)=h'(0)h(x)$ todos los $x$. El teorema de la función inversa nos permite calcular $h'(0)=1$, lo $h'(x)=h(x)$$h(0)=1$. Uno puede ahora calcular la derivada de $h(x)e^{-x}$, ver que es idéntica a cero, y evaluar su función en $0$ a la conclusión de que la $h(x)=e^{-x}$.

Answer 5

Su idea de la definición de función exponencial $a^{x}$ es intuitivo, pero tiene muchas complicaciones. La definición supone que $a^{p}$ está definido para todos los $a > 0$$p \in \mathbb{Q}$. Si $x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ e si $x_{n}$ es una secuencia de racionales con $\lim_{n \to \infty}x_{n} = x$ a continuación, se definen $a^{x} = \lim_{n \to \infty}a^{x_{n}}$. Esto requiere primero que justificar que la definición es ambigua. Esto implica, además, que debemos establecer

1) si $x_{n}$ es una secuencia de racionales con $\lim_{n \to \infty}x_{n} = x$, entonces el límite de $\lim_{n\to\infty}a^{x_{n}}$ existe.

2) si $x_{n}, y_{n}$ son secuencias de racionales con $\lim_{n \to \infty}x_{n} = \lim_{n \to \infty}y_{n} = x$ $\lim_{n \to \infty}a^{x_{n}} = \lim_{n \to \infty}a^{y_{n}}$

Tanto los resultados anteriores, aunque parece trivial, pero no son tan fáciles de probar. Suponiendo que se han superado los anteriores obstáculos en su definición no es fácil demostrar que $a^{x}$ es continua para todos los $x$. Esto requiere de nosotros para demostrar la exponencial de la regla de $a^{x + y} = a^{x}a^{y}$, lo que es fácil de acuerdo a la definición adoptada aquí. Y, a continuación, debe ser establecido que $\lim_{x \to 0}a^{x} = 1$.

El límite puede establecerse siempre y cuando se establezca el más débil de la desigualdad de $a^{x} \leq a^{y}$$x < y, a > 1$. Para $a < 1$ el signo de la desigualdad se invierte. Esto también es fácil de hacer por la definición utilizada aquí. (Sugerencia: Si $a > 1$ $x < y$ a continuación, poner $h = y - x > 0$ y muestran que $a^{h} \geq 1$ y luego se multiplica la desigualdad por $a^{x}$)

Lo siguiente que necesitamos es el primer espectáculo que $a^{1/n} \to 1$$n \to \infty$. Deje $a > 1$, y la ponemos a$a^{1/n} = 1 + b$, de modo que $a =(1 + b)^{n} > 1 + nb$, de modo que $$0 < b < \frac{a - 1}{n}$$ Letting $n \to \infty$ we see that $b \a 0$ and hence $^{1/n} = 1 + b \a 1$.

Ahora podemos demostrar que $a^{x} \to 1$$x \to 0$. Vamos a considerar sólo el caso de $x \to 0^{+}$. Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Entonces existe un entero positivo $m $ tal que $1 - \epsilon < a^{1/n} < 1 + \epsilon$$n \geq m$. Deje $\delta = 1/m > 0$. Si $0 < x < \delta$ $0 < x < 1/m $ y, a continuación,$1 \leq a^{x} \leq a^{1/m}$, de modo que $1 - \epsilon < a^{x} < 1 + \epsilon$$0 < x < \delta$. De ello se desprende que $a^{x} \to 1$$x \to 0^{+}$.

Ahora podemos ver que $$\begin{aligned}\lim_{x \to b}a^{x} &= \lim_{h \to 0}a^{b + h}\\ &= \lim_{h \to 0}a^{b}a^{h} = a^{b}\cdot 1 = a^{b}\end{aligned}$$ so that $^{x}$ is continuous for all $x$. The proofs above assume that $ > 1$. The case $ < 1$ can be handled by noting that $1/a > 1$ and applying the results on $1/$.

Actualización: Si sólo se preocupan por qué $2^{1/2}\approx 2^{47/99}$ es fácil proporcionar una prueba simple y evitar todos los límites de la maquinaria se mencionó anteriormente. Lo ideal es que desee $a^{x}$ $a^{y}$ a ser casi igual si $x, y$ son casi iguales y vamos a mantener las $x, y$ racional para evitar todos los límites de argumentos. Por cierto esto es en realidad la prueba para que la piedra de tropiezo 2) que mencioné en el inicio de mi respuesta.

Tenemos $a^{x} - a^{y} = a^{y}(a^{x - y} - 1)$, por lo que la diferencia de $a^{x} - a^{y}$ será pequeño si $a^{x - y} - 1$ es pequeña. Deje $x - y = h$ y mantener $x > y$ de lo contrario corremos el intercambio de roles de $x, y$. Entonces podemos ver que $h$ es pequeña (como $x$ está cerca de a $y$) y queremos hacer $a^{h} - 1$ pequeños. Tenemos la desigualdad $$\frac{a^{h} - 1}{h} < a - 1$$ for rational $a, h$ with $ > 1, 0 < h < 1$. See its proof here. Hence we have $0 < a^{h} - 1 < h(a - 1)$. Now we can see that $h$ is small so $h(a - 1)$ is small and therefore $^{h} - 1$ is small and therefore $^{x} - a^{y}$ es pequeño.