"Descripción geométrica "más sencilla

Question

Así que me pidieron que encontrara: Hallar la matriz que representa la transformación lineal del plano obtenida por:

• reflejándose en la recta y = x, $\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$
• a continuación, girando en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo de 45 grados, $\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
• y finalmente reflejándose en el eje y. $\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
• Haz una descripción geométrica más sencilla de lo que hace esta transformación.

Que supongo que es sólo multiplicar todos los pasos $$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{-\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} $$

¿Cómo puedo dar una descripción geométrica más simple de esto aparte de lo que ya se ha indicado en la pregunta: reflejar en la línea y=x, girar a través de ángulo de 45 grados y reflejar por el eje y.

¿Es esto una especie de proyecto inverso se siente mucho como el aspecto geométrico de un inverso a su función principal.

Answer 1

Hay un resultado de la geometría que dice que cualquier rotación por ángulo $2\theta$ equivale a dos reflexiones en espejos separados por un ángulo $\theta.$ los dos espejos pueden colocarse en la línea de hormiga que pasa por el punto de rotación. también utilizaremos el hecho de que las reflexiones son involuntarias; que son sus propias inversas.

deje $R_{x = 0}, R_{y= \tan(3\pi/8) x},$ y $ R_{y = x}$ representan las reflexiones sobre las líneas $x = 0, y= \tan(3\pi/8) x$ y $y = x.$ por el argumento de la geometría tenemos $$Rot_{\pi/4} = R_{y= \tan(3\pi/8) x} R_{y=x}$$ donde $Rot_{\pi/4}$ representa la rotación por $45^\circ$ en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen.

podemos calcular $$\begin{align}R_{x = 0} Rot_{\pi/4} R_{y=x} &= R_{x = 0} R_{y= \tan(3\pi/8) x} R_{y=x} R_{y=x}\\ &= R_{x = 0} R_{y= \tan(3\pi/8) x}\\ &=Rot_{\pi/4}\end{align}$$

las transformaciones de allí resultan en una rotación por $45^\circ$ en el sentido contrario a las agujas del reloj. esto se representa mediante la matriz $\pmatrix{1/\sqrt 2& -1/\sqrt 2\\1/\sqrt 2&1\sqrt 2}.$