Sea $X$ sea un espacio de Banach de dimensión infinita, $\{e_j\}_{j\in J}$ ser normalizado Hamel base para ello.
Supongamos que para cada $j\in J$ elegimos un número $\lambda_j\in\mathbb{R}$ . Entonces definimos un mapa lineal $$A:X\to X$$ $$Ae_j = \lambda_je_j$$ y se extienden por linealidad.
¿Es posible decir algo sobre el límite de $A$ conocer el conjunto $\Lambda = \{\lambda_j\: |\: j\in J\}$ ? Supongamos que $0\not\in\Lambda$ así que $A$ es una biyección.
Trivialmente si $\Lambda$ no tiene límite, entonces $A$ también es ilimitada. Si $0$ es un punto límite de $\Lambda$ entonces $A$ es una biyección con inversa ilimitada, por lo que también debe ser ilimitada.
¿Y si $\Lambda$ está acotado y se aleja de cero?
¿Se puede hacer algo en un caso general? ¿Alguna condición necesaria/suficiente?
