¿Por qué no hay señales de símbolos lógicos en los textos matemáticos?

Question

Tanto en los libros de texto de licenciatura como en los de postgrado de Matemáticas (Análisis Real/Complejo, Topología General, Geometría Diferencial, ...), nunca vi símbolos $\Rightarrow$ , $\iff$ , $\forall$ , $\exists$ etc. En cambio, sólo veo su "lectura como" o explicación como "si... entonces...", "si y sólo si", "para todos", "existe", etc. Antes de empezar a estudiar matemáticas, pensaba que vería muchos símbolos lógicos, pero no vi ninguno (¡ni una sola vez!) ni siquiera en las pruebas. ¿Por qué? Si son de uso matemático y ocupan menos espacio en los textos, ¿por qué no hay ninguno en los libros de matemáticas?

Answer 1

Muchos matemáticos, y quiero estar en ese número, creen que

Arreglemos cualquier $\epsilon>0$ . De los supuestos se deduce que existe un número positivo $\delta$ con la propiedad de que $1/x<\epsilon$ siempre que $x>\delta$

es más elegante que

$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x)(x > \delta \Rightarrow 1/x<\epsilon)$ .

Los autores de libros suelen querer escribir buenos libros, cuidadosamente escritos, elegantes y agradables de leer. Los autores de libros suelen considerarse artistas o escritores profesionales: si, como dicen otros en sus respuestas, el buen inglés otorga tanto estilo como calidad científica a un libro, ¿por qué no utilizarlo?

Answer 2

Algunos símbolos sólo se utilizan en determinados casos.

El lugar más habitual donde se utilizan estos símbolos, al menos cuando no se habla de lógica, es probablemente una pizarra. Eso se debe a que se utilizan además de la palabra hablada. Entonces los símbolos son un lenguaje abreviado.

Por ejemplo, el "Símbolo "por tanto no tiene ningún uso formal en lógica matemática, y casi nunca lo he visto impreso, pero es genial para un argumento de pizarra porque el profesor lo acompaña con la palabra hablada, "por lo tanto".

Los símbolos lógicos para imprimir existen porque a veces queremos razonar sobre la propia lógica.

Answer 3

Se supone que las pruebas de los libros de texto son legibles para los humanos. El uso de símbolos lógicos puede hacer que las pruebas sean mucho más breves, pero también mucho más confusas. Las pruebas escritas en lenguaje natural con palabras y frases reales son mucho más rápidas de leer. Además, con palabras se pueden explicar ideas, no sólo enunciar verdades. Las matemáticas no consisten sólo en encontrar todos los enunciados verdaderos. Los libros de texto y los textos matemáticos más breves cuentan una historia, y las historias son difíciles de contar sólo con símbolos.

Una prueba en palabras también puede ser difícil de entender si nunca explica por qué se hacen las cosas como se hacen. Si sólo utiliza símbolos, ni siquiera tiene la oportunidad de explicarlo. Una prueba simbólica explicada con palabras podría funcionar, pero a mí me parece que la lógica no simbólica suele ser más fácil de seguir en una prueba.

Haz una prueba si quieres: Toma una prueba de aproximadamente una página. Conviértela en símbolos lógicos de modo que no quede ninguna palabra en inglés y dásela a leer a un amigo. ¿Puede entender lo que pasa?

Algunas cosas se escriben mejor con símbolos, otras con palabras, y la posición del límite es cuestión de gustos. Creo que la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que escribir matemáticas sólo con símbolos o sin símbolos de ningún tipo no es una buena idea.

Answer 4

Depende de los textos que lea. Todavía hay lugares donde los símbolos lógicos se utilizan con frecuencia; por supuesto en lógica matemática (para un ejemplo de MSE véase aquí ); algunos profesores todavía fomentan el uso de símbolos lógicos para acortar una prueba, véase la discusión aquí .