Encontrar todos los números complejos $z$ tal que $|z| = 1$ et $\Im((z+1)^{2020}) = 0$

Question

Me he topado con un problema interesante. La tarea consiste en encontrar todos los números complejos $z$ tal que $$|z| = 1$$ et $$\Im((z+1)^{2020}) = 0$$ Hasta ahora he encontrado, que es posible seguir estos pasos: $$u = z+1$$ $$\Im(u^{2020}) = 0$$ $$\sin(2020x) = 0$$ $$x = \dfrac{\pi n}{2020}$$ Lo que básicamente me da todos los números complejos $u$ que siguen $\Im(u^{2020}) = 0$ . Sin embargo, no sé cómo continuar a partir de este punto.

Answer 1

En $\Im((z+1)^{2020}) = 0$ se deduce que $$\operatorname{arg}(z+1) = \frac{2k\pi}{2020} $$ $z=-1$ es una solución. Si no, de $|z| = 1$ se cumple que $$\operatorname{arg}(z+1) = \frac{1}{2} \operatorname{arg}(z)$$ Combinación de ambos $$\operatorname{arg}(z) = \frac{k\pi}{505}$$