Puzzle no markoviano del jugador de baloncesto

Question

Estoy intentando resolver el siguiente enigma que he oído recientemente:

Supongamos que un jugador de baloncesto lanza diez tiros libres. Lanza el primero y falla el segundo. Para cada tiro posterior, su probabilidad de lanzarlo es el porcentaje de tiros ya lanzados (es decir, la probabilidad de lanzar el tercero es $1/2$ ). ¿Cuál es la probabilidad de que de $10$ disparos, hace exactamente $5$ de ellos?

Tengo una idea de cómo resolver el problema, pero no acabo de concretarla. Para que el jugador haga 5 tiros, en cualquier momento debe tener exactamente un tiro hecho, dos tiros hechos... 4 tiros hechos en ningún orden en particular. Y en cada etapa ya debe haber hecho un total de 2 tiros, 3 tiros... 9 tiros.

Por lo tanto, tengo una fracción que se parece a esto: $$ \frac{{\displaystyle\binom{8}{4}} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} $$ donde $4!$ es el número total de disparos ya realizados, $\binom{8}{4}$ es el número de formas de ordenar esas marcas, y $9!$ es el número total de disparos realizados.

No estoy seguro de si esto es correcto, pero me parece que no he tenido en cuenta el hecho de que los cinco fallos podrían estar entre cualquiera de las marcas en cualquier orden.

Answer 1

Creo que aquí se puede utilizar un enfoque similar al de la programación dinámica.

Sea $P(k,n)$ denota la probabilidad de que el jugador realice exactamente k tiros en n lanzamientos.

Si el jugador hizo exactamente $k$ disparos en $n$ lanza, o bien tenía $k-1$ ou $k$ disparos en $n-1$ tiros.

Caso 1: Jugador hecho $k$ disparos en $n-1$ lanza. Así que su probabilidad de éxito es $k/n$ . Condicionado a esto,

$P(k,n) = (1-k/n)P(k,n-1) + (k/n)P(k+1,n)$

Caso 2: Jugador hecho $k-1$ disparos en $n-1$ lanza. Así que su tasa de éxito es (k-1)/(n-1). Condicionado a esto,

$P(k,n) = (k-1)/(n-1)P(k-1,n-1) + (1-(k-1)/(n-1))P(k-1,n)$

Combinando lo anterior, $P(k,n) = (1-k/n)P(k,n-1) + (k/n)P(k+1,n) + (k-1)/(n-1)P(k-1,n-1) + (1-(k-1)/(n-1))P(k-1,n)$ .

También tienes las condiciones de contorno: $P(0,1) = 0, P(1,1) = 1, P(0,2) = 0, P(1,2)=1, P(2,2)=0$

Es poco probable que exista una forma cerrada, pero deberías ser capaz de evaluar $P(5,10)$ numéricamente.

Las probabilidades de transición son una función del estado, así que es interesante.