Para qué enteros $1\leq{m}\leq{10}$ ¿es cierto que $\int_0^\pi{(\cos{x})(\cos{2x})\cdots(\cos{mx})}\,dx = 0$ ?

Question

Sólo he podido resolver este problema por fuerza bruta, probando cada valor de $m = 1$ a $10$ ...

¿Cuál es el método más eficaz y adecuado de aproximación?

(Nota: mi método implicaba el uso repetido de la identidad trigonométrica producto-suma para conseguir un resultado simplificado del integrando; pero ¿hay alguna forma de generalizar este resultado simplificado para todos los $m \in [1,10]$ ?)

Gracias

Answer 1

Dejemos que $$I_{m}=\int_{0}^{\pi}\prod_{k=1}^{m}\left(\dfrac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}\right)dx=2^{-m}\sum_{\xi=\pm 1}\int_{0}^{\pi}e^{i(\xi_{1}+2\xi_{2}+\cdots+m\xi_{m})x}dx$$ desde $$\int_{0}^{\pi}e^{itx}dx=\begin{cases}\pi&t=0\\ 0&\textbf{otherwise} \end{cases}$$ entonces $I_{m}\neq 0$ si y sólo si $0$ puede escribirse como $$\xi_{1}+2\xi_{2}+\cdots+m\xi_{m},\xi_{i}\in\{-1,1\},i=1,2,\cdots,m$$ Es muy fácil de encontrar cuando $$m\equiv 3,4\pmod 4$$ porque $$0=\xi_{1}+2\xi_{2}+\cdots+m\xi_{m}=1+2+\cdots+m=\dfrac{m(m+1)}{2}\pmod 2$$ así que $$\Longrightarrow m(m+1)\equiv 0\pmod 4\Longrightarrow m\equiv 3,4\pmod 4$$ entonces satisfacen esta condición excepto son $3,4,7,8$ , por lo que si $$I_{m}=0\Longrightarrow m=1,2,5,6,9,10$$