En primer lugar, me doy cuenta de que esta prueba se preguntó antes de aquí pero la prueba propuesta era diferente y las respuestas tampoco eran completas.
Para ir al grano: he escrito mi propia demostración de este simple teorema, sin embargo no estoy seguro de que la demostración sea correcta--el ejercicio está tomado de Spivak, quien parece haber proporcionado una demostración diferente y más elaborada de ese teorema.
Mi prueba es la siguiente:
Por la definición de límite (omitiendo los "para todos" y "existe"):
$$ \lim_{x\to a} f(x) = L_1 \implies 0 < |x - a| < _1 \implies |f(x) - L_1| < $$ et $$ \lim_{h\to 0} f(a + h) = L_2 \implies 0 < |h - 0| = |h| < _2 \implies |f(a + h) - L_2| < $$
Trabajemos en el segundo límite: $$|h| = |(a+h) - a|$$ $$\text{Let } y = a + h$$ Ahora, el segundo límite toma la siguiente definición: $$ 0 < |y - a| < _2 \implies |f(y) - L_2| < $$ Vemos que ambos límites tienen exactamente la misma forma en este momento. Por el Teorema 1 [que establece que si el límite L existe es necesariamente único] $L_1 = L_2$ et $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{h\to 0} f(a + h)$ $$Q.E.D.$$
¿Es correcto mi razonamiento o he cometido algún error?
