Existe una correspondencia 1-1 entre objetos co-(grupo abeliano) en la categoría de conmutativas $k$ -álgebras, $\mathbf{Alg}_k$ (es decir, álgebras de Hopf bicomutativas) y ascensores del functor que representan $\mbox{Spec}_k(H) \colon \mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Set}$ a un functor $\mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Ab}$ .
Explícitamente, si $H$ es un álgebra de Hopf bicomutativa, entonces $\mbox{Spec}_k(H) \colon \mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Set}$ se eleva a un functor $\mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Ab}$ . Por el contrario, si $H$ es un $k$ -entonces una elevación del functor $\mbox{Spec}_k(H)$ a un functor $\mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Ab}$ induce una estructura de álgebra de Hopf sobre $H$ .
Me preguntaba si este resultado se traslada al mundo de los esquemas formales. Por ejemplo, si $H$ es un álgebra de Hopf topológica, es decir, un álgebra de Hopf, junto con ideales de Hopf $J$ que induce la topología, entonces el functor $\mbox{Spf}(H) = \varinjlim \mathbf{Alg}_k(H/J, -) \colon \mathbf{Alg}_k \to \mathbf{Set}$ se eleva a un functor $\mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Ab}$ . Efectivamente, $H/J$ es un álgebra de Hopf para cada $J$ y así $\mathbf{Alg}_k(H/J, -) \colon \mathbf{Alg}_k \to \mathbf{Ab}$ como el límite directo de los grupos abelianos es un grupo abeliano, el resultado se deduce.
Sin embargo, el resultado inverso no parece sostenerse. Es decir, si $H$ es un álgebra topológica filtrada por ideales $J$ tal que $\mbox{Spf}(H)$ se eleva a un functor $\mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Ab}$ no parece haber ninguna razón para que cada $J$ debe ser un ideal de Hopf. En efecto, aunque $\mathbf{Alg}_k(H/J, X)$ es un conjunto, todavía podemos tener $\varinjlim \mathbf{Alg}_k(H/J, X)$ ser un grupo.
¿Qué condiciones adicionales necesitamos en la elevación del functor $\mbox{Spf}(H)$ para que este resultado sea cierto? Es decir, ¿bajo qué condiciones es una elevación del functor $\mbox{Spf}(H)$ a $\mathbf{Alg_k} \to \mathbf{Ab}$ equivalente a la estructura de un álgebra de Hopf topológica sobre $H$ ?
