Existe una correspondencia 1-1 entre objetos co-(grupo abeliano) en la categoría de conmutativas k -álgebras, Algk (es decir, álgebras de Hopf bicomutativas) y ascensores del functor que representan Speck(H):Algk→Set a un functor Algk→Ab .
Explícitamente, si H es un álgebra de Hopf bicomutativa, entonces Speck(H):Algk→Set se eleva a un functor Algk→Ab . Por el contrario, si H es un k -entonces una elevación del functor Speck(H) a un functor Algk→Ab induce una estructura de álgebra de Hopf sobre H .
Me preguntaba si este resultado se traslada al mundo de los esquemas formales. Por ejemplo, si H es un álgebra de Hopf topológica, es decir, un álgebra de Hopf, junto con ideales de Hopf J que induce la topología, entonces el functor Spf(H)=lim→Algk(H/J,−):Algk→Set se eleva a un functor Algk→Ab . Efectivamente, H/J es un álgebra de Hopf para cada J y así Algk(H/J,−):Algk→Ab como el límite directo de los grupos abelianos es un grupo abeliano, el resultado se deduce.
Sin embargo, el resultado inverso no parece sostenerse. Es decir, si H es un álgebra topológica filtrada por ideales J tal que Spf(H) se eleva a un functor Algk→Ab no parece haber ninguna razón para que cada J debe ser un ideal de Hopf. En efecto, aunque Algk(H/J,X) es un conjunto, todavía podemos tener lim→Algk(H/J,X) ser un grupo.
¿Qué condiciones adicionales necesitamos en la elevación del functor Spf(H) para que este resultado sea cierto? Es decir, ¿bajo qué condiciones es una elevación del functor Spf(H) a Algk→Ab equivalente a la estructura de un álgebra de Hopf topológica sobre H ?
