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Álgebras de Hopf topológicas y elevaciones de Spf.

Existe una correspondencia 1-1 entre objetos co-(grupo abeliano) en la categoría de conmutativas k -álgebras, Algk (es decir, álgebras de Hopf bicomutativas) y ascensores del functor que representan Speck(H):AlgkSet a un functor AlgkAb .

Explícitamente, si H es un álgebra de Hopf bicomutativa, entonces Speck(H):AlgkSet se eleva a un functor AlgkAb . Por el contrario, si H es un k -entonces una elevación del functor Speck(H) a un functor AlgkAb induce una estructura de álgebra de Hopf sobre H .

Me preguntaba si este resultado se traslada al mundo de los esquemas formales. Por ejemplo, si H es un álgebra de Hopf topológica, es decir, un álgebra de Hopf, junto con ideales de Hopf J que induce la topología, entonces el functor Spf(H)=limAlgk(H/J,):AlgkSet se eleva a un functor AlgkAb . Efectivamente, H/J es un álgebra de Hopf para cada J y así Algk(H/J,):AlgkAb como el límite directo de los grupos abelianos es un grupo abeliano, el resultado se deduce.

Sin embargo, el resultado inverso no parece sostenerse. Es decir, si H es un álgebra topológica filtrada por ideales J tal que Spf(H) se eleva a un functor AlgkAb no parece haber ninguna razón para que cada J debe ser un ideal de Hopf. En efecto, aunque Algk(H/J,X) es un conjunto, todavía podemos tener limAlgk(H/J,X) ser un grupo.

¿Qué condiciones adicionales necesitamos en la elevación del functor Spf(H) para que este resultado sea cierto? Es decir, ¿bajo qué condiciones es una elevación del functor Spf(H) a AlgkAb equivalente a la estructura de un álgebra de Hopf topológica sobre H ?

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WMycroft Puntos 196

No he respondido satisfactoriamente a la pregunta, pero he aquí una respuesta parcial.

La categoría de esquemas formales sólidos es antiequivalente a la categoría de álgebras topológicas completas. Por tanto, la categoría de esquemas sólidos formales de grupo (objetos de grupo en esquemas sólidos formales) es antiequivalente a la categoría de álgebras de Hopf topológicas completas. Por tanto, una elevación de \Spf(H) es igual a la estructura de un álgebra de Hopf topológica completa. Para la construcción explícita de H como un álgebra de Hopf topológica, creo que tienes que hacer algunos reemplazos complicados de la filtración.

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