Convergencia uniforme de $\sum \frac{nx}{1+n^2x^2}$

Question

Sé que $\frac{nx}{1+n^2x^2}$ no es uniformemente convergente.

Sin embargo, no estoy seguro de la serie. Ninguna de las pruebas de convergencia de las series, a saber, la prueba m de Wierstrass, la prueba de Abel o la prueba de Dirichlet dicen nada sobre la no convergencia.

¿La convergencia no uniforme de los términos individuales implica la convergencia no uniforme de la serie?

Answer 1

Es exagerado en este caso ya que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{nx}{1+n^2x^2}$$ ni siquiera es puntualmente convergente para $x\neq 0$ pero en general:

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Si tiene convergencia uniforme sobre $E$ de una serie con suma parcial $S_n=\sum_{k=1}^n f_n$ a una función límite $S$ entonces $$\begin{align*} \sup_{x\in E}|f_n(x)| &= \sup_{x\in E} |S_{n}(x)-S_{n-1}(x)| \leq \sup_{x\in E} |S_{n}(x)-S(x)|+ \sup_{x\in E} |S_{n-1}(x)-S(x)| \\&\xrightarrow[n\to\infty]{} 0+0=0 \end{align*}$$ así que $(f_n)_n$ debe converger uniformemente (en $E$ ) a la función cero.

Answer 2

Una simple prueba de comparación muestra la divergencia de las series para $x\neq 0$ :

Para $x\neq 0$ tienes $\frac 1{xn}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$ . Por lo tanto, para $N$ lo suficientemente grande como para poder estimar

$$\sum_{n=N}^{\infty}\frac{nx}{1+n^2x}=\sum_{n=N}^{\infty}\frac{1}{\frac 1{nx}+n}\geq \sum_{n=N}^{\infty}\frac{1}{1+n}=\infty$$

Answer 3

Diga $\sum f_n(x)$ es uniformemente convergente. Entonces existe un $e$ tal que para todo x existe un número entero N tal que $$|f_{n+1}(x)+ f_n(x)|<e \forall n\ge N$$

En $e=1/3$ et $n=m>N$ et $x=1/m$ obtenemos una contradicción. Por lo tanto la serie no es uniformemente convergente.

Answer 4

Sea $f_n(x)=\frac{n x}{1+n^2 x}$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^2 x}$ no está definido en $x=\frac{-1}{n^2},\,\, n=1,2,3,...$ . y para todos los demás valores de $x$ tenemos $\frac{n x}{1+n^2 x} \to 0,\,\, as\,\, n \to 0$ .

Según el teorema de la prueba M, la serie converge uniformemente en cualquier intervalo acotado $(a,b],\,\, b >a>0$ para

$$\frac{n x}{1+n^2 x} \le \frac{b} {a n^2}$$

y está claro que $$\frac{b}{a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{b \pi^2}{6 a}.$$

La serie diverge en $x= \frac{1}{1-n^2},\,\,\, n=1,2,3,...$ porque la expresión $\frac{n x}{1+n^2 x} =1$ en $x=\frac{1}{1-n^2}$ y la suma infinita para la última diverge.