Ejemplo de variedad sobre un campo numérico con representación de Galois no simétrica en $\ell$ -cohomología ádica

Question

Esta pregunta se inspira en la pregunta ¿Ejemplo de variedad no proyectiva con acción de Frobenius no simétrica en la cohomología etale?

Sea $K$ sea un campo numérico (o campo finitamente generado de característica $0$ ). Si no me equivoco, no se espera que las variedades generales tengan representaciones de Galois semisimples en sus $\ell$ -ádica.

¿Existe algún ejemplo conocido de una variedad $X/K$ tal que la representación de Galois en el $\ell$ -¿la cohomología ádica no es semisimple?

Si $X$ no es propio, supongo que deberíamos trabajar con cohomología con soporte compacto.

Dos subpreguntas:

• ¿Hay ejemplos en los que $X$ ¿es suave?
• ¿Hay ejemplos en los que $X$ ¿es apropiado?

Answer 1

He aquí un ejemplo, si no me equivoco. Que $E / K$ sea una curva elíptica y $x \in E$ una no-torsión $K$ -punto. Entonces la imagen del divisor $\{x\} - \{\infty\}$ bajo el mapa de clases de ciclos etale es una clase no trivial en $H^1(K, H^1(E_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)(1))$ y, por tanto, corresponde a una extensión no dividida de $H^1(E_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)(1)$ por $\mathbf{Q}_\ell$ y esta representación de Galois no-semisimple se realiza en la cohomología etale de la variedad (lisa, no-propia) $E - \{x, \infty\}$ .

EDIT: Hay dos maneras de ver que obtenemos una clase en $H^1(K, H^1(E_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)(1))$ . Por un lado, identificar $H^1(E_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)(1)$ con el $\ell$ -Módulo Tate $T_\ell(E)$ es simplemente el mapa de Kummer (límite inverso de los mapas de frontera asociados a la sucesión $0 \to E[\ell^n] \to E(\overline{K}) \to^{\times \ell^n} E(\overline{K}) \to 0$ ). El enfoque más potente es que tenemos una clase de ciclo etale $$ CH^1(E) \to H^2_{et}(E, \mathbf{Q}_\ell(1)) $$ y el compuesto con el mapa de aristas de la secuencia exacta de Hochschild--Serre, entrando en $H^2_{et}(E_{\overline{K}}, \mathbf{Q}_\ell)(1))^{G_K} = \mathbf{Q}_\ell$ no es más que el grado del divisor, que es 0; por lo que se llega al siguiente paso de la filtración de $H^2_{et}(E, \mathbf{Q}_\ell(1))$ inducida por la secuencia espectral, que es $ H^1(K, H^1(E_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell(1)))$ .

Para ver cómo se manifiesta esta clase en la cohomología de la variedad abierta $E \setminus Z$ donde $Z = \{x, \infty\}$ Consideremos la secuencia exacta de escisión $$ 0 \to H^1(E_{\bar K}) \to H^1(E_{\bar K} - Z_{\bar K}) \to H^2_Z(E_{\bar K}) \to H^2(E_{\bar K}) \to \dots $$

La clase de ciclo del divisor $\{x\} - \{\infty\}$ da un elemento de $H^2_Z(E_{\bar K})(1)$ cuya imagen en $H^2(E_{\bar K})(1)$ es trivial, así que por pullback obtenemos una secuencia exacta corta $$ 0 \to H^1(E_{\bar K})(1) \to W \to \mathbf{Q}_\ell \to 0 $$ donde $W$ es un subespacio de $H^1(E_{\bar K} - Z_{\bar K})(1)$ . Esto da una realización geométrica de la extensión de las representaciones de Galois asociadas a la clase en $ H^1(K, H^1(E_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell(1)))$ procedentes de la secuencia espectral.

Aquí he trabajado con soportes no compactos, pero todo es liso de dimensión 1, por lo que la cohomología con soporte compacto $H^i_c$ no es más que el dual de la no compacta $H^{2-i}$ por la dualidad de Poincare.