Teoremas que decepcionaron a los matemáticos

Question

Buscaba una lista de teoremas que decepcionaran a los matemáticos, en el sentido de que fuera notable algún disgusto por el hecho de que el teorema en cuestión fuera verdadero/falso. Un ejemplo podría ser un teorema cuya negación se esperaba notablemente que fuera cierta o un teorema que acabara implicando la negación de enunciados que se esperaba notablemente que fueran ciertos. Los únicos ejemplos que conozco son los teoremas de incompletitud de Godel, y esperaba saber si existen otros ejemplos similares.

Gracias, señor.

Answer 1

Sólo para recoger algunos de los comentarios en una respuesta:

• Insolubilidad de la problema de palabras para grupos es decir, existen grupos para los que no existe ningún algoritmo que determine cuándo dos elementos son iguales
• Insolubilidad del general quíntico (y la insolubilidad de determinados quínticos como $x^5-x+1=0$ ) en términos de radicales
• Para los pitagóricos, la existencia de irracionales (en particular, la irracionalidad de $\sqrt2$ )
• La paradoja de Russell y, en particular, la inconsistencia de la teoría de conjuntos de Frege
• Teorema de Rice que, a grandes rasgos, todas las preguntas "interesantes" sobre programas son indecidibles. (La problema de detención la madre de todos los problemas indecidibles, es un caso especial).
• La categoría $\sf Top$ cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son funciones continuas, no es Cartesiano cerrado en particular no tiene objetos exponenciales. Esto motiva la búsqueda de categorías "más agradables" de espacios topológicos
• Décimo problema de Hilbert no existe ningún algoritmo para ecuaciones polinómicas diofantinas.
• Geometría nouclidiana . En cierto modo, los matemáticos se sintieron decepcionados por la prueba de que el postulado paralelo no se deducía de los demás axiomas más intuitivos. Esa decepción se vio claramente atenuada por el placer de ampliar la idea de una geometría.
• La existencia de conjuntos no medibles en teoría de conjuntos con el axioma de elección. (Atemperado en parte por la Modelo Solovay Un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de elección en el que todo conjunto es medible, aunque no sé hasta qué punto los teóricos de la medida en activo se preocupan por ello).
• La independencia del hipótesis del continuum de la teoría de conjuntos ZFC, sobre la existencia de un conjunto de cardinalidad intermedia entre los naturales y los reales. Georg Cantor intentó demostrarlo durante muchos años, y fue el primer problema de Hilbert en su discurso de 1900. Gödel demostró su consistencia con ZFC en 1940, y Cohen demostró la consistencia de su negación en 1963.
• En Función de Weierstrass la primera función continua no diferenciable en ninguna parte, recibió algunos comentarios bastante desagradables
• Teorema de imposibilidad de Arrow que, cuando hay al menos tres alternativas, no existe ningún sistema de votación por orden de preferencia (¡salvo la dictadura!) que satisfaga dos condiciones razonables. Informalmente, todo sistema de votación por orden de preferencia sacrifica alguna forma de "equidad".

Answer 2

No estoy seguro de si este teorema decepcionó a los matemáticos, pero desde luego defraudó a los marinos, los militares y a cualquiera que esperara un mapa perfecto e impecable de la Tierra. Cuando alguien crea un mapa plano, pretende que represente fielmente la Tierra preservando ciertas propiedades físicas como la distancia, los ángulos o el área. En cada caso, la cartografía inducida entre la Tierra y el mapa se conoce como isométrica, conforme o equiareal, respectivamente.

• La proyección Mercator conserva las direcciones y las formas, pero distorsiona las zonas al alejarse del ecuador.
• La proyección de Peters conserva las áreas pero distorsiona las formas.
• La proyección Robinson pretende equilibrar varias propiedades, pero no preserva ninguna de ellas a la perfección.

Sin embargo, Carl Friedrich Gauss demostró que no hay esperanza para los mapas que conservan la distancia, ni siquiera a pequeña escala. En la terminología matemática moderna, su célebre teorema (Theorema Egregium) puede expresarse así: La curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo isometría local.