El coeficiente de variación como medida de la "estrechez" de una distribución

Question

En este conferencia sobre mecánica estadística, página $10$ el autor dijo que para una distribución con picos, como la de abajo,

la anchura del pico es proporcional a $\frac{\sigma}{\mu}$ donde $\mu$ ( $\textrm{U}$ en la figura anterior) es la media de la distribución, y $\sigma$ su varianza.

Citando exactamente al autor,

la distribución de la energía total del sistema $E$ i alrededor de su media $\textrm{U} = \langle E\rangle$ la anchura de este pico es $\sim \Delta E _{rms}/\textrm{U},$

donde $\Delta E _{rms}=\langle (E-\textrm {U})^{2} \rangle ^{1/2}=\sigma$ .

No se dio ninguna razón o pista de por qué se mantiene esta proporcionalidad. Según tengo entendido, $\frac{\sigma}{\mu}$ se utiliza para comparar la varianza relativa de dos distribuciones, pero no veo realmente cómo se relaciona con la anchura de una distribución estrecha como la anterior.

Answer 1

No me queda claro cómo obtienes "proporcionalidad" de la afirmación expuesta en esas notas. Las notas sólo parecen referirse a una única distribución, en lugar de a una familia parametrizada de distribuciones, por lo que no me queda del todo claro que se trate de una afirmación de "proporcionalidad". En cualquier caso, para entender el coeficiente de variación, conviene señalar que tanto el valor esperado como la desviación típica de una variable aleatoria son proporcionales a la escala de dicha variable.

Supongamos que tenemos una variable aleatoria $X$ con $\mathbb{E}(X) = \mu$ y $\mathbb{S}(X) = \sigma$ . De ello se deduce que:

$$\mathbb{E}(kX) = k\mu \quad \quad \quad \quad \quad \mathbb{S}(kX) = k\sigma.$$

Por lo tanto, para cualquier $Y = k X$ que tenemos:

$$\frac{\mathbb{E}(X)}{\mathbb{S}(X)} = \frac{\mathbb{E}(Y)}{\mathbb{S}(Y)} = \frac{\mu}{\sigma}.$$

En consecuencia, el coeficiente de variación es invariante a los cambios de escala de la variable aleatoria. Esto hace imposible que la "anchura del pico" pueda ser proporcional al coeficiente de variación, ya que el primero no sería invariante de la escala.