Existencia de una función continua lineal no nula

Question

Sea $X,Y$ sean espacios vectoriales normales y $L_c(X,Y)$ el espacio de todas las funciones lineales continuas de $X$ a $Y$ . ¿Cuándo podemos afirmar $L_c(X,Y) \ne \{ 0 \}$ ? Esto es lo que sé hasta ahora.

• Si $X$ es de dimensión finita tenemos $L_c(X,Y) = L(X,Y) \ne \{0\}$ (suponiendo $X \ne \{0\}$ ).

• Si $Y = \mathbb{R}$ por el teorema de Hahn-Banach existe $H$ un hiperplano cerrado que contiene $\{0\}$ lo que arroja la existencia de una función continua lineal no nula de $X'$ .

En el caso general no veo como proceder, cualquier información se agradecería.

Answer 1

Si $f$ es una función lineal continua distinta de cero en $X$ y $y$ es cualquier elemento distinto de cero de $Y$ entonces $Tx=f(x)y$ define un elemento distinto de cero de $L_c(X,Y)$ .

Existencia de $f$ : Toma cualquier nozero $x_0$ en $X$ y definir $f$ en el espacio unidimensional $M$ abarcado por $x_0$ por $f(cx_0)=c$ . Entonces $f$ es una función lineal continua en $M$ y el Teorema de Hahn-Banach te dice que puedes extenderlo a un funcional lineal continuo sobre $X$ . Esto funciona tanto para escalares reales como complejos.