(Una especie de continuación de esta pregunta .)
La cantidad $\left\lfloor \frac{n!}{11e}\right\rfloor$ es siempre par, lo que puede demostrarse de la siguiente manera.
Utilizando la suma para $\frac{1}{e}$ dividimos la fracción en tres partes:
- $A_n=\sum_{k=0}^{n-11} (-1)^k\frac{n!}{11k!}$ es múltiplo del entero par $10! \binom{n}{11}$ por lo que puede ignorarse.
- $B_n=\sum_{k=n-10}^n (-1)^k\frac{n!}{11k!}=\frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10} (-1)^{n-k}(n)_k$ . Se trata de una suma finita de factoriales decrecientes, todos ellos polinómicos en $n$ con coeficientes enteros. Así que $B_n$ es de la forma $\frac{P(n)}{11}$ donde $P(n)$ es un polinomio en $n$ con coeficientes enteros.
- $C_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^k\frac{n!}{11k!}$ es una serie alterna cuyos términos decrecen monotónicamente en valor absoluto, por lo que $|C_n|<\frac{n!}{11(n+1)!}<\frac{1}{11}$ .
Poniendo todo esto junto, podemos ver que:
- Desde $B_n$ es siempre un múltiplo entero de $\frac{1}{11}$ y $|C_n|<\frac{1}{11}$ , $C_n$ sólo puede afectar al valor de $\left\lfloor \frac{n!}{11e}\right\rfloor$ cuando $B_n$ es un número entero. En este caso cambiará la paridad cuando $C_n$ es negativo (es decir, $n$ es par) y dejarlo solo cuando $C_n$ es positivo.
- Desde $P(n)=11B_n$ es un polinomio con coeficientes enteros, $B_n$ es $11$ -periódico, lo que significa que si $C_n$ afecta a la paridad de $\left\lfloor \frac{n!}{11e}\right\rfloor$ es $22$ -periódico.
- Del mismo modo, la paridad de $\lfloor B_n \rfloor$ es también $22$ -periódico.
Así que la paridad de $\left\lfloor \frac{n!}{11e}\right\rfloor$ es $22$ -periódico. Además, podemos calcular su primer $22$ valores a ser: $$ 0, 0, 0, 0, 0, 4, 24, 168, 1348, 12136, 121360, 1334960, 16019530, 208253902, 2915554640, 43733319612, 699733113794, 11895462934514, 214118332821268, 4068248323604100, 81364966472082010, 1708664295913722230 $$ (secuencia que no parece figurar en la OEIS).
Todos estos son pares, y así $\left\lfloor \frac{n!}{11e}\right\rfloor$ debe ser uniforme para todos $n$ .
Sin embargo, esta no es una prueba muy satisfactoria; al final, parece que necesitamos un $2^{22}$ -fold coincidencia para ir a nuestra manera con el fin de obtener el resultado que queremos. (De hecho, ése es el único lugar en el que utilizamos el valor específico de $11$ en nuestra prueba en absoluto; el resto de la prueba muestra que la paridad de $\left\lfloor \frac{n!}{ke}\right\rfloor$ es $2k$ -periódica para todos los enteros positivos $k$ .) Aunque $11$ se eligió arbitrariamente, parece que la probabilidad heurística de que todo encaje cae tan rápidamente que es sorprendente que todo funcione para cualquier $k$ que es incluso así de grande.
¿Puede alguien convencerme de que este hecho es menos sorprendente de lo que parece? Aceptaría o bien una prueba completamente diferente que estableciera el resultado con menos análisis de casos, o bien una razón por la que pueda esperarse que la paridad de estos números no sea independiente...
