$C(K)^{*}$ en la topología débil

Question

Es evidente que para un espacio compacto de Hausdorff $K$ el espacio de las funciones continuas complejas (o reales) $C(K)$ es un espacio de Banach con la norma "sup". Lo que no me queda claro es si existe un homeomorfismo entre $K$ y el espacio dual $C(K)^{*}$ equipado con la topología débil*. Supongo que tendría que ser lineal y estar bien definida de alguna manera especial.

Rudin's $\textit{Functional Analysis}$ sugiere elegir un punto $p \in K$ y definiendo $\Lambda_{p} \in C(K)^{*}$ por $\Lambda_{p}(f)= f(p)$ (Creo que esto justifica la existencia de una topología débil* en $C(K)^{*}$ ). Entonces la afirmación es que $p \mapsto \Lambda_{p}$ es el homeomorfismo que queremos. Por otra parte, este mapa no es onto, por lo que llamarlo homeomorfismo no parece tener sentido en este momento.

Answer 1

El mapa más natural de un espacio compacto (bonito, topológico) $K$ a $C^o(K)$ es $x\to \delta_x$ que significa $x\to (f \to f(x))$ . Se trata de una función lineal continua cuando $C^o(K)$ se le da la topología sup-norma (y es conveniente que $K$ es compacto, así que no hay problema de uniformidad...).

Pero hay muchos otros funcionales lineales continuos, a menos que $K$ es discreto, por lo tanto finito (o raro...)

EDIT: y/pero releyendo la pregunta, no entiendo el objetivo del que pregunta. Es decir, tengo la sospecha de que la pregunta literal no es la pregunta de fondo... ?

EDIT-EDIT: después de la aclaración: para demostrar que este mapa es un homeomorfismo _a_su_imagen_, en primer lugar, dada continua $f$ y $\epsilon>0$ y $x\in K$ hay un vecindario $N$ de $x$ tal que para $y\in N$ $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ que es la continuidad de $x\to \delta_x$ . El mapa es inyectivo porque $K$ es presumiblemente Hausdorff, por lo que el lema de Urysohn da funciones que separan puntos. Demostrar que el mapa es abierto a su imagen es demostrar que $\delta_x$ cerca de $\delta_y$ implica $x$ está cerca de $y$ en $K$ . La contraposición es que $x$ lejos de $y$ en $K$ implica $\delta_x$ está lejos de $\delta_y$ . De nuevo use el lema de Urysohn...

Answer 2

$K$ no es ciertamente homeomorfo al espacio dual $C(K)^*$ porque este último nunca es compacto. $K$ es homeomorfa a la bola unitaria de $C(K)^*$ dotado de la topología débil*.