$\triangle ABC$ tiene $AC=BC$ y $\angle ACB=96^\circ$ . $D$ es un punto tal que $\angle DAB=18^\circ, \angle DBA=30^\circ$ . ¿Qué es el $\angle ACD$ ?

Question

$\triangle ABC$ tiene $AC=BC$ y $\angle ACB=96^\circ$ . $D$ es un punto en $\triangle ABC$ tal que $\angle DAB=18^\circ, \angle DBA=30^\circ$ . ¿Qué es el $\angle ACD$ ?

Mi intento:

$$\angle ABC=\angle BAC=\frac{(180^\circ-96^\circ)}{2}=42^\circ.$$

$$\angle ADB=180^\circ-18^\circ-30^\circ=132^\circ.$$

A partir de aquí, no tengo ni idea de cómo seguir. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Cuando veo que $\angle CAB$ se divide como $24^\circ$ y $18^\circ$ ¿Qué ángulo queda para hacer una $60^\circ$ ángulo (que es para hacer un triángulo equilátero, que nos da más lados iguales)? Después de hacerlo, vemos que $\angle ECB = 36^\circ$ y esto hace que $\angle ABE = 30^\circ$ . Ahora, observe que $\Delta ADB$ es congruente con $\Delta AEB$ . Así que tenemos $|AD| = |AE| = |AC|$ . Así que la respuesta es $78^\circ$ .

Answer 2

Por ley de los senos obtenemos: $$\frac{\sin(96^{\circ}-x)}{DB}=\frac{\sin12^{\circ}}{CD}$$ y $$\frac{\sin{x}}{AD}=\frac{\sin24^{\circ}}{CD},$$ que da $$\frac{\sin(96^{\circ}-x)}{\sin{x}}\cdot\frac{AD}{DB}=\frac{\sin12^{\circ}}{\sin24^{\circ}}$$ o $$\frac{\sin(96^{\circ}-x)}{\sin{x}}\cdot\frac{\sin30^{\circ}}{\sin18^{\circ}}=\frac{\sin12^{\circ}}{\sin24^{\circ}}$$ o $$\sin96^{\circ}\cot{x}-\cos96^{\circ}=\frac{\sin18^{\circ}}{\cos12^{\circ}}$$ o $$\cos6^{\circ}\cot{x}=\frac{\sin18^{\circ}-\sin6^{\circ}\cos12^{\circ}}{\cos12^{\circ}}$$ o $$\cos6^{\circ}\cot{x}=\frac{\sin18^{\circ}-\frac{1}{2}(\sin18^{\circ}-\sin6^{\circ})}{\cos12^{\circ}}$$ o $$\cos6^{\circ}\cot{x}=\frac{\sin12^{\circ}\cos6^{\circ}}{\cos12^{\circ}},$$ que da $x=78^{\circ}.$

Answer 3

Gire $C$ para $60^{\circ}$ en torno a $A$ (obtenemos nuevo punto $E$ ). Obsérvese que $E$ y $B$ están en diferentes lados de la línea $AC$ .

Entonces $E$ , $D$ y $B$ son colineales (calcule el ángulo $∠EBC$ (mira el triángulo $EBC$ ) y el ángulo $∠DBC$ (mira el ángulo $∠ABC$ ))

así que $\angle ADE = 48 = \angle AED$ así que $ADE$ es isósceles y también lo es $ACD$ . Así $\angle ACD = 78$ .

Answer 4

Toma $O$ el circuncentro de $\triangle ABD$ Así que $AO=OD=OB=AD$ y $\angle BAO=\angle OBA=60^\circ-\angle BAD=42^\circ$ Así pues $\triangle AOB\cong\triangle BCA$ lo que implica $OA=AC=AD$ y de ahí $\angle ADC=\angle ACD=90^\circ-12^\circ=78^\circ$ .