Evaluación de $ \lim_{x \to 0}\left(-\frac{1}{3 !}+\frac{x^{2}}{5 !}-\frac{x^{4}}{7 !}+\frac{x^{6}}{9!}+\cdots\right) $

Question

Esta pregunta me viene a la mente inmediatamente después de preguntar este pregunta.

Antes desconocía que límite de suma es igual a suma de límites sólo cuando hay términos finitos. Ahora el problema es entonces cómo evaluar el siguiente límite que antes solía hacer aplicando límites individuales.

$$ \lim_{x \to 0}\left(-\frac{1}{3 !}+\frac{x^{2}}{5 !}-\frac{x^{4}}{7 !}+\frac{x^{6}}{9!}+\cdots\right) $$

Soy estudiante de secundaria

Answer 1

Ese límite es $-\frac1{3!}$ . Eso es así porque, cuando una potencia $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ tiene radio de convergencia $r$ superior a $0$ (y el radio de convergencia de su serie es $\infty$ ), entonces, si $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ ( $|x|<r$ ), $f$ es una función continua. En particular, $$a_0=f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to0}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.$$

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He aquí un enfoque más elemental. Para cada número real $x$ tal que $|x|<1$ , \begin{align}\left|\frac{x^2}{5!}-\frac{x^4}{7!}+\cdots\right|&\leqslant\frac{|x|^2}{5!}+\frac{|x|^4}{7!}+\cdots\\&\leqslant\frac{|x|^2}{120}\left(1+|x|^2+|x|^4+\cdots\right)\\&=\frac{|x|^2}{120\left(1-|x|^2\right)}\end{align} Y así, desde $\lim_{x\to0}\frac{|x|^2}{120\left(1-|x|^2\right)}=0$ , $$\lim_{x\to0}-\frac1{3!}+\frac{x^2}{5!}-\frac{x^4}{7!}+\cdots=-\frac1{3!}+0=-\frac1{3!}.$$

Answer 2

Obsérvese que, para $x\ne 0$ , $$ -\frac{1}{3 !}+\frac{x^{2}}{5 !}-\frac{x^{4}}{7 !}+\frac{x^{6}}{9!}+\cdots=\frac{1}{x^3} \left(-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\frac{x^{9}}{9!}+\cdots\right) =\frac{1}{x^3} \left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\frac{x^{9}}{9!}+\cdots-\frac{x}{1!}\right) = \frac{1}{x^3}\left(\sin x-x\right) \\ $$ Entonces usted puede aplicar L'Hôpital tres veces y obtener que $$ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\left(\sin x-x\right)=-\frac{1}{3!} $$