Hallar la solución general de $3\csc^2 x - 4=0$ .

Question

Hallar la solución general de $3\csc^2 x - 4 =0$ .

Mi intento:

$$3\csc^2 x - 4=0$$ $$\csc^2 x =\dfrac {4}{3}$$ $$\csc x = \pm \dfrac {2}{\sqrt {3}}$$

Answer 1

Si $\csc x=\pm\frac2{\sqrt3}$ entonces $\sin x=\pm\frac{\sqrt3}2$ y así $x=\pm\frac{\pi}3+2k\pi$ o $x=\pm\frac{2\pi}3+2k\pi$ para algunos $k\in\mathbb Z$ .

Answer 2

Si $\csc^2 x = \frac 43$ entonces $\cot^2 x = \frac 13$ entonces $\tan x = \pm\sqrt3$ y así $x = \pm \frac\pi3 + k\pi$ para algunos $k\in\mathbb Z$ .

Answer 3

Podemos demostrar $$\sin^2x=\sin^2A\iff\cos^2x=\cos^2A\iff\tan^2x=\tan^2A$$ etc.

Ahora con Prueba $ \sin(A+B)\sin(A-B)=\sin^2A-\sin^2B $ ,

$$\sin^2x=\sin^2A\iff\sin(x-A)\cdot\sin(x+A)=0\implies x=n\pi\pm A$$ donde $n$ es cualquier número entero

Aquí $\csc^2x=\dfrac43\iff\sin^2x=\dfrac34=\sin^2\dfrac\pi3$