intersección infinita de la órbita del mapa biyectivo

Question

Sea $A$ sea un conjunto infinito contable, $T$ un mapa biyectivo de $A$ , $U$ sea un subconjunto adecuado de $A$ (también infinito). Consideremos $\cap_{n=-\infty}^{\infty}T^{n}(U)$ donde $T^{0}(U)=U$ puede la intersección anterior estar vacía, mientras que $\cap_{n=-M}^{N}T^{n}(U)$ no está vacío para cualquier $M, N$ ?

Creo que es imposible que la intersección infinita esté vacía mientras que la intersección finita no lo esté, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Es posible. Deja que $A$ sea la unión contable de conjuntos finitos cada vez más grandes, digamos $A=\{ (m,n)\in \Bbb Z^2\colon n\ge m\ge 0 \}$ que es la unión contable de los $k$ th "filas" $A_k = A \cap (\Bbb Z\times\{k\})$ . Deje también que $U=\{ (m,n)\in \Bbb Z^2\colon n\ge m\ge 1 \} \subset A$ sea la unión contable de sus $k$ ª fila $U_k = U \cap (\Bbb Z\times\{k\})$ (señalando que $U_0=\emptyset$ ).

Defina $T(m,n) = \bigl( (m+1\mod n+1),n \bigr)$ . En otras palabras, $T$ es el resultado de unir las biyecciones de cada uno de los individuos $A_k$ y su acción sobre $A_k$ es simplemente permutar cíclicamente su $k+1$ elementos.

Si restringimos $T$ a un único $A_k$ es fácil de comprobar (para números enteros) $Y\le Z$ ) que $\bigcap_{n=Y}^Z T^n(U_k)$ es no vacío precisamente cuando $Z-Y<k$ .

• En particular, $\bigcap_{n=-\infty}^\infty T^n(U_k)=\emptyset$ para cada $k$ y, por lo tanto $\bigcap_{n=-\infty}^\infty T^n(U)=\emptyset$ .
• Sin embargo, para cada $-M$ y $N$ tenemos que $\bigcap_{n=-\infty}^\infty T^n(U_k)$ es no vacío para cualquier $k>M+N$ y, por lo tanto $\bigcap_{n=-M}^N T^n(U)$ no es vacío.