Calculemos el resto tras la división de $27$ par $10$ .
$27 \equiv 7 \pmod{10}$
Tenemos $7$ . Así que vamos a calcular el resto después de la división de $27$ par $7$ .
$ 27 \equiv 6 \pmod{7}$
Bien, continuemos con $6$ como divisor...
$ 27 \equiv 3 \pmod{6}$
Cada vez más cerca...
$ 27 \equiv 0 \pmod{3}$
¡Bien! Por fin hemos llegado $0$ lo que significa que no podemos continuar con el procedimiento.
Hagamos una función que cuente las operaciones módulo que tenemos que realizar hasta llegar finalmente a $0$ .
Así que encontramos algún resto $r_{1}$ tras la división de algunos $a$ par algunos $b$ entonces encontramos un resto $r_{2}$ tras la división de $a$ par $r_{1}$ y repetimos el procedimiento hasta encontrar dicho índice $i$ que $r_{i} = 0$ .
Por lo tanto $$ M(a, b) = i-1$$
para $a, b \in \mathbb{N}, b \neq 0 $ (Me gusta llamarlo "modulidad de a por b", de ahí M )
Para nuestro ejemplo: $M(27, 10) = 3$ .
Observe que $M(a, b) = 0 \Leftrightarrow b|a $ (por eso $i-1$ me parece más agradable que $i$ )
Recordemos lo que ocurre si colocamos un píxel blanco en tal $(x, y)$ que $y|x$ : 
Esta es también la trama de $M(x, y) = 0$ . (la imagen se refleja sobre los ejes x e y por razones estéticas. $(0, 0)$ está exactamente en el centro)
Lo que vemos aquí es el común diagrama divisor que ya ha sido ampliamente estudiado por los investigadores de números primos.
Ahora es cuando las cosas empiezan a ponerse interesantes:
¿Y si ponemos un píxel en tal $(x, y)$ que $M(x, y) = 1$ ? 
Parece casi como el diagrama divisor ... pero mira más de cerca los rayos. Es como si copias de la trama divisoria estuvieran creciendo en cada una de las líneas originales.
¿Qué te parece $M(x, y) = 2$ ? 
¡Las copias crecen sobre las copias! Nótese que no superpongo ninguna de las imágenes, sólo sigo esta única ecuación.
Aquí está mi favorito. Determinemos la luminosidad ( $0 - 255$ ) de un píxel en $(x, y)$ mediante la siguiente ecuación: $$255 \over{ M(x,y) + 1 }$$ (por tanto, es totalmente blanco siempre que $y$ divide $x$ medio blanco si $M(x, y) = 1$ etc.) 
La versión a resolución completa ocupa unos ~35 mb, así que no he podido subirla aquí (recomiendo totalmente verla en 1:1): https://drive.google.com/file/d/0B_gBQSJQBKcjakVSZG1KUVVoTmM/view?usp=sharing
Lo que más me llama la atención es que en la zona gris aparecen algunas rayas negras que suelen representar ubicaciones de números primos.
Trivia
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El gráfico anterior con y sin números primos marcados con rayas rojas:
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El gráfico anterior sólo tiene en cuenta los primos $x$ :
Fórmula: $255 \over{ M(p_{x},y) }$ (tenga en cuenta que no añado $1$ al denominador porque sería totalmente blanco sólo en $y$ igual $1$ o el primo. Por lo tanto, el píxel es totalmente blanco cuando $p_{x}$ mod $y = 1$ )
Resolución completa 1:1: https://drive.google.com/file/d/0B_gBQSJQBKcjTWMzc3ZHWmxERjA/view?usp=sharing
Curiosamente, estas modulidades forman una parcela divisoria propia.
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Obsérvese que para $ M(a, b) = i-1, r_{i-1}$ resulta en $1$ o un divisor de $a$ (que no es ni $1$ ni $a$ ).
Pongo un pixel blanco en tal $(x, y)$ que para $M(x, y) = i - 1$ es cierto que $r_{i-1}\neq 1 \wedge r_{i-1} | x$ (la anterior a la última iteración da como resultado un resto que divide a $x$ y no es $1$ (el caso poco interesante))
http://i.imgur.com/I85rlH5.png
Cabe destacar que el crecimiento de $M(a, b)$ es bastante lenta, por lo que si pudiéramos descubrir una regla para describir una $b$ que más a menudo lleva a encontrar un factor adecuado de $a$ descubriríamos una prueba de primalidad que funciona realmente rápido (sería $O(M(a, b))$ porque sólo tendríamos que calcular esto $r_{i-1}$ ).
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Piensa en $M'(a, b)$ como una función que no calcula $a$ mod $b$ sino que hace $M(a, b)$ hasta encontrar un cero. Estos dos son gráficos de $M'''(x, y)$ con y sin primos marcados:
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Parcela de $M(x, 11)$ ampliada 5 veces verticalmente:
http://i.imgur.com/K2ghJqe.png
No se aprecia ninguna periodicidad en los primeros 1920 valores, aunque sólo sean 11.
A modo de comparación, el gráfico de $x$ mod $11$ (escala 1:1):
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Como se ha señalado en los comentarios, las iteraciones posteriores de $M(a, b)$ se parecen mucho a Algoritmo euclidiano para encontrar los máximos comunes divisores utilizando el módulo repetido. Se puede obtener un resultado sorprendentemente similar si para $(x, y)$ trazamos el número de pasos de $gcd(x, y)$ :
También he encontrado una imagen similar en wikipedia :
Se trata básicamente del gráfico de eficiencia algorítmica de $gcd$ .
Alguien incluso dibujó un gráfico de densidad aquí en stackexchange .
Los primos, sin embargo, no son tan claramente visibles en los gráficos GCD . En general, parecen más ordenados y las rayas no se alinean verticalmente como cuando utilizamos $M(a, b)$ en su lugar.
He aquí una cómoda animación comparativa entre Temporizador GCD (gráfico de complejidad) y mi función Modulity ( $M(x, y)$ ). Se ve mejor con el zoom 1:1. $M(x, y)$ parece ser de naturaleza diferente al algoritmo GCD de Euclides.
Preguntas
- ¿Dónde está el $M(a, b)$ en matemáticas?
- ¿Ya tiene algún nombre?
- ¿Cómo se puede estimar el crecimiento de $M(a, b)$ en relación con $a$ y $b$ o sólo con $a$ ¿aumentando?
- ¿Qué propiedades interesantes podría $M(a, b)$ y ¿podría tener alguna importancia para la teoría de números?
