Sea $G=\langle a\rangle$ grupo cíclico de orden $9$ Si $H=\langle a^2\rangle$ demostrar que $H=G$

Question

Sea $G=\langle a\rangle$ grupo cíclico de orden $9$

H subgrupo de G

Si $H=\langle a^2\rangle$ demostrar que $H=G$

¿Es el orden de H 2? Entonces como H subgrupo de G $\Rightarrow$ H cíclico.

entonces como 2 es primo, $H=\{e\}$ o $H=G$

Estoy muy confundido ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Creo que se le escapa el hecho de que, si el orden de $H$ fue realmente $2$ entonces, como $G$ tiene orden $9$ no habría forma de que tuvieras $H=G$ .

Tenga en cuenta que $$\overbrace{(a^2)^5}^{\phantom H\in H}=a^{10}=a^9\cdot a=a,$$ y que por lo tanto $a\in H$ . Pero $G=\langle a\rangle$ . Así que.., $H=G$ .

Answer 2

Un resultado útil más general es el siguiente:

Teorema: Sea $G$ sea un grupo y $g \in G$ con $o(g) = n <\infty$ . Entonces $o(g^m) = \frac{n}{\gcd(n, m)}$ .

Se trata de un hecho relativamente conocido, pero si nunca te has topado con él puedes encontrar su prueba aquí .

Aplíquelo a su problema concreto, $|G| = o(a) = 9$ , $H \leq G$ y $|H|=o(a^2) = \frac{9}{\gcd(9, 2)} = 9$ . De ello se deduce que $G=H$ .

Answer 3

He aquí otra forma de demostrarlo

Teorema Para cualquier grupo finito $(G,*)$ si $a\in G$ , $\langle a\rangle=\langle a^k\rangle$ si $\gcd(\text{ord}(a),k)=1$ .

( $G$ no es necesario que sea cíclico)

Prueba

Sea $(G,*)$ sea un grupo finito y $a\in G$ entonces $\gcd(k,\text{ord}(a))=1$ implica $\text{ord}(a)x+ky=1$ para algunos $x,y\in\mathbb{Z}$ . Por lo tanto $$a^{\text{ord}(a)x+ky}=a^{\text{ord}(a)x}*a^{ky}=a$$ $$\implies a^{ky}=a$$ $$\implies \langle a^{k}\rangle=\langle a \rangle$$

Answer 4

Puede pensar en su $G$ como $(\Bbb Z_9,+)$ y, en consecuencia, $\langle a^2\rangle$ como $\langle 2\rangle$ . Se puede demostrar explícitamente que $\langle 2\rangle$ abarca todo el $\Bbb Z_9$ multiplicando (¡notación aditiva!) $2$ por uno, dos, tres, etc. hasta nueve (modulo $9$ ).