Tengo problemas para entender la demostración de 3.117 en Linear Algebra Done Right (Third Edition). El teorema es el siguiente:
3.117 $\quad$ Dimensión de la gama $T$ es igual al rango de columna de $\mathcal{M}(T)$
Supongamos que $V$ y $W$ son de dimensión finita y $T\in\mathcal{L}(V;W).$ Entonces $\dim\text{range } T$ es igual al rango de columna de $\mathcal{M}(T).$
El primer párrafo de la prueba dada es el siguiente:
Prueba
Supongamos que $v_1,\dots, v_n$ es una base de $V$ y $w_1,\dots, w_m$ es una base de $W.$ T $w\in\text{span}(Tv_1,\dots, Tv_n)$ a $\mathcal{M}(w)$ i es un isomorfismo de $\text{span}(Tv_1,\dots, Tv_n)$ o $\text{span}\big(\mathcal{M}(Tv_1),\dots, \mathcal{M}(Tv_n)\big).$ Así $\dim\text{span}(Tv_1,\dots, Tv_n)=\dim\text{span}\big(\mathcal{M}(Tv_1),\dots,\mathcal{M}(Tv_n)\big),$ donde la última dimensión es igual a la columna rango de $\mathcal{M}(T).$
No entiendo esa frase " La función que toma $w\in\text{span}(Tv_1,\dots, Tv_n)$ a $\mathcal{M}(w)$ se ve fácilmente que es un isomorfismo de $\text{span}(Tv_1,\dots, Tv_n)$ en $\text{span}\big(\mathcal{M}(Tv_1),\dots,\mathcal{M}(Tv_n)\big)$ . ".
He comprobado otra pregunta casi igual Pero todavía me pregunto cómo $\mathcal{M}$ mapa $\text{span}(Tv_1,\dots, Tv_n)$ en $\text{span}\big(\mathcal{M}(Tv_1),\dots,\mathcal{M}(Tv_n)\big)$ .
Soy nuevo en álgebra lineal, se agradece cualquier consejo.
