Demostración de la desigualdad de estabilidad de los valores propios mediante el teorema min-max de Courant-Fischer

Question

T. Tao en sus notas sobre desigualdades de valores propios utiliza el teorema min-max de Courant-Fischer para demostrar la desigualdad de estabilidad de valores propios . Concretamente, estoy buscando la prueba de la Ec. (13) donde afirma como resultado inmediato de las Ec. (6) y (10). Pero el problema es que la función min-max no es convexa. He leído el libro de Stewart & Sun sobre Teoría de la Perturbación Matricial pero parece que también les ha parecido obvio.

¿Puede alguien dar más detalles sobre cómo deducir la Ec. (13)?

Answer 1

Se trata de una aplicación sencilla y repetida de $\min$ y $\max$ operadores.

$$v^*(A+B)v=v^*Av+v^*Bv\le v^*Av+\|B\|_{op},\,\forall v\in R^n\wedge |v|=1.$$ Dado $V$ donde $\dim(V)=i$ , $$\min_{u\in V,|u|=1}u^*(A+B)u\le v^*(A+B)v\le v^*Av+\|B\|_{op},\,\forall v\in V\wedge |v|=1,$$ entonces $$\min_{u\in V,|u|=1}u^*(A+B)u\le \min_{v\in V,|v|=1}v^*Av+\|B\|_{op}\le \max_{\dim(V)=i}\min_{v\in V,|v|=1}v^*Av+\|B\|_{op}$$ y $$\max_{\dim(U)=i}\min_{u\in V,|u|=1}u^*(A+B)u\le \max_{\dim(V)=i}\min_{v\in V,|v|=1}v^*Av+\|B\|_{op}.$$ En otras palabras $$\lambda_i(A+B)\le\lambda_i(A)+\|B\|_{op}.$$ Del mismo modo, podemos demostrar $\lambda_i(A)-\|B\|_{op}\le\lambda_i(A+B)$ y alcanzar la desigualdad deseada.