¿Es una función Lipschitz si y sólo si su derivada está acotada?

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación?

Sea $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea continua y diferenciable.

$f$ Lipschitz $\leftrightarrow \exists M:\forall x\in\mathbb{R}\ |f'(x)|\leq M$

Si $f'$ está acotado, es Lipschitz, eso es obvio.

¿Funciona al revés?

Sea $f$ sea $M$ -Lipschitz, es decir $\forall x_1, x_2\in\mathbb{R},\ |f(x_1) - f(x_2)| \leq M|x_1 - x_2|$ donde $M$ es independiente de $x_1, x_2$ .

Sea $x_1 <x_2$ ser arbitraria. $f$ es continua, así que por el teorema del valor medio,

existe $c\in\mathbb{R}, x_1 < c < x_2$ tal que $f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \Rightarrow |f'(c)| = |\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}| \leq M$ .

¿Es esto cierto? ¿Puedes, utilizando el teorema del valor medio, "alcanzar" todos los puntos de la derivada?

Además, otra pregunta: Si $f$ es Lipschitz, ¿es necesariamente diferenciable?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f$ es una función M-Lipschitz. Así que $|f(x+h)-f(x)|\leq M|h|, \quad \forall x, h \in \mathbb{R}.$ Equivale a $|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}|< M$ . Tomando que limit, $|f'(x)|\leq M$ .

Para la inversa, utilice el teorema del valor medio. Sea $x,y \in \mathbb{R}$ existe $c\in \mathbb {R}$ para que $f(x)-f(y)=(x-y)f'(c)$ (hay que suponer que $f$ es diferenciable) y utilizar ahora el hecho de que $|f'(c)|\leq M$ .

Como ha dicho el autor anterior, el teorema de Rademacher dice que toda función Lipschitz es diferenciable en casi todas partes.

Un ejemplo sencillo de función Lipschitz no diferenciable es el valor absoluto.

Answer 2

No es necesario utilizar el teorema del valor medio. Basta con utilizar la definición de la derivada: $$ | f'(x) | = \lim_{h \to 0} \frac{|f(x+h)-f(x)| }{|h|} \leq \lim_{h \to 0} \frac{M |x+h -x|}{|h|} = M.$$

Y no, las funciones de Lipschitz no tienen por qué ser diferenciables, por ejemplo, el valor absoluto $| \cdot |$ es Lipschitz. Sin embargo, las funciones Lipschitz son diferenciables en casi todas partes.

Answer 3

Si lo desea, aquí tiene una versión multidimensional de Tres.Uno.Cuatro 's responder .

\begin{align*} \|\nabla f(x)\| &= \sup_{v} \frac{\|\nabla f(x)v\|}{\|v\|} =\sup_{v} \lim_{\lambda\to0}\frac{|\lambda|\|\nabla f(x)v\|}{|\lambda|\|v\|} =\sup_{v} \lim_{\lambda \to0}\frac{\|\nabla f(x)(\lambda v)\|}{\|\lambda v\|}\\ &\le \sup_{v} \lim_{\lambda \to0} \frac{ \|f(x+\lambda v) - f(x) -\nabla f(x)(\lambda v)\|}{\|\lambda v\|} + \frac{ \|f(x+\lambda v) - f(x) \|}{\|\lambda v\|}\\ &\le \sup_{v} \lim_{\lambda \to0} \frac{ \|f(x+\lambda v) - f(x) -\nabla f(x)(\lambda v)\|}{\|\lambda v\|} + \frac{ M\|(x+\lambda v) - (x) \|}{\|\lambda v\|}\\ &= \sup_{v} \underbrace{\lim_{\lambda \to0} \frac{ \|f(x+\lambda v) - f(x) -\nabla f(x)(\lambda v)\|}{\|\lambda v\|}}_{=0} + M\\ &\le M \end{align*}

Nótese que aquí simplemente utilizamos la definición de la derivada multidimensional.