Valor de la segunda derivada

Question

Si $f (x)$ es una función doblemente diferenciable. Dado que $$f(1)=1,f (2)=4,f (3)=9,$$ entonces es $f''(x) =2$ para todos $x$ en $(1,3)$ o para algunos $x$ en $(1,3)$ ?

Supuse que la función sería $x^2$ Por lo que su segunda derivada es siempre $2$ . Pero mi libro dice $f"(x)=2$ para algunos $x$ en $(1,3)$ . ¿Por qué?

Answer 1

No necesitamos tener $f(x) = x^2$ para todos $x$ . Piensa en una función $g$ que desapareció fuera del intervalo $(1,2)$ decir, entonces $f(x) = x^2+ g(x)$ tiene los mismos valores que $x^2$ en $1$ , $4$ , $9$ pero su derivada no será $2$ a lo largo del intervalo. Mediante interpolación polinómica se pueden construir otros ejemplos, por ejemplo $$ f_2(x) = -\frac 83 x^3 + 17x^2 - \frac{88}3 x + 16 $$ también cumple las condiciones.

Y: Sólo porque $f_1(x) = x^2$ es la única función que nos viene a la mente, al leer las condiciones $f(1) = 1$ , $f(2) = 4$ y $f(3) = 9$ Esto no significa que sea la única. Hay un montón de funciones, y algunos de ellos tal vez también cumplen las condiciones dadas, si usted afirma que $f'' = 2$ Tienes que demostrarlo. No puedes decir simplemente "Es la única que conozco, por lo tanto ya está", así no funcionan las matemáticas. Tienes que partir de las condiciones dadas y demostrar tu afirmación.

Para ver que es cierto para algunos $x$ considera $g \colon x \mapsto f(x) - x^2$ . Entonces, como te diste cuenta $g(1) = g(2) = g(3) = 0$ y $g$ es dos veces diferenciable. Por lo tanto, por el teorema de Rolle, hay $\xi_1 \in (1,2)$ y $\xi_2 \in (2,3)$ con $g'(\xi_1) = g'(\xi_2) = 0$ . Otra llamada a Rolle nos da una $x \in (\xi_1, \xi_2) \subseteq (1,3)$ con $$ 0 = g''(x) = f''(x) - 2. $$

Answer 2

He aquí otro ejemplo

$$ f= 6 - 3 \cos \left( \frac{\pi x}{3} \right) - \frac{7}{\sqrt{3}} \sin \left( \frac{\pi x}{3} \right) $$

cumple las condiciones de $(1,1)$ , $(2,4)$ y $(3,9)$ pero $f'' = 2$ sólo en $x=2.03614537421\ldots$ dentro de la gama.