"Media entera" de dos números enteros

Question

Supongamos dos números enteros arbitrarios $a$ y $b$ . Estoy buscando alguna función $f(a,b)$ con las siguientes propiedades:

• $f(a,b)\in\mathbb{Z}$ .
• $f(a,a)=a$ .
• $f(a,b)=f(b,a)$ .
• $\min\{a,b\}< f(a,b)< \max\{a,b\}$ , aceptando " $\leq$ " si $a$ y $b$ son consecutivos ( $a=b\pm 1$ ).

¿Hay algún ejemplo de esta función?

Mejora: ¿Alguna solución que evite las funciones de "suelo/techo"?

Answer 1

$$f(a,b)=\frac{a+b-\sin^2\left(\pi(a+b)/2\right)}{2}$$

Sí, es la función del suelo disfrazada :-)

Answer 2

\begin {Edición} f(a,b) = \begin {casos} a & \text { si } a=b \\ a+1 & \text { si } a<b \\ b+1 & \text { si } b<a \end {casos} \end {Ecuación}

_{^{Esto ignora la connotación verbal de "media entera". Porque a nadie le gustan las connotaciones.}}

Answer 3

¿Qué tal si $f(a,b)=\lfloor \frac 12(a+b)\rfloor$ ?

Answer 4

¿Alguna solución que evite las funciones de "suelo/techo"?

¿Quizás esperabas un polinomio? Lamentablemente, eso es imposible. Si $f$ es un polinomio, entonces $g(a)=f(a,0)$ también es un polinomio. Necesitamos $|g(a)|\leq |a|$ para todos $a$ por lo que el grado de $g$ no puede ser mayor que $1$ . Pero si $g$ es lineal y $g(0)=0$ y $g(2)=1$ entonces $g(1)=\frac12\not\in\mathbb Z$ .

Answer 5

Yo utilizaría el "redondeo científico" (redondear al par) en la media aritmética. Así, si $(a+b)/2$ es un número entero, utilícelo, de lo contrario utilice el número entero par de $(a+b+1)/2$ y $(a+b-1)/2$ . Así que probablemente sería algo así como $$\left\lfloor a+b+1\over4\right\rfloor + \left\lceil a+b-1\over4\right\rceil$$ La ventaja de este tipo de redondeo es que es globalmente insesgado a la vez que redondea preferentemente a puntos de mayor estabilidad, reduciendo posiblemente la cantidad de errores de seguimiento con operaciones repetidas ya que al promediar dos valores calculados usando el desempate "redondeado a la par" se obtendrá un resultado exacto que no necesitará otro desempate.