Una pregunta que surge de algún malentendido que involucra la Transformada de Laplace de la función de Heaviside.

Question

Estoy tratando de calcular la Transformada de Laplace de la Función Escalón de Heaviside. Defino la función escalón de Heaviside con la convención de la mitad del máximo:

$H(t-t_0) = 0$ para $t < t_0$ ; $H(t-t_0) = 1/2$ para $t=t_0$ ; $H(t-t_0) = 1$ para $t > t_0$.

Al realizar las integrales necesarias para encontrar la transformada de Laplace de la función escalón de Heaviside, encontré que: (Utilizo el símbolo $L$ para denotar la transformada de Laplace.)

$L[ 0 ] = 0 $ ; $L[1/2] = \frac{1}{2s} $ ; $L[1] = \frac{1}{s} $ .

Pensé que esta es la Transformada de Laplace correcta para los diferentes intervalos en los que se define la función escalón de Heaviside. Sin embargo, mi libro menciona que: $$L [ H(t - t_0) f(t - t_0) ] = e^{-t_0 s } F(s) , $$ donde $F(s) = L [f(t) ] $. Así que si observamos el intervalo en el que $t > t_0$, encontramos que $$L [ H(t - t_0) f(t - t_0) ] = \frac{ e^{-t_0 s } }{s} .$$

Esto no concuerda con mis cálculos. ¿Puedes señalar quién está equivocado, y dónde y cómo?

Answer 1

La transformada de Laplace unilateral $F(s)$ de una función $f(t)$ está definida por

$$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st} \,dt$$

Para la función escalón desplazada $H(t-t_0)$ esto da

$$F(s)=\int_{0}^{\infty}H(t-t_0)e^{-st} \,dt=\int_{t_0}^{\infty}e^{-st} \,dt=\frac{e^{-st_0}}{s}$$

Así que supongo que tu libro tiene razón.

Answer 2

Su suposición sobre el valor de la transformada de Laplace es incorrecta. Debido a que la función escalón no es diferente de cero hasta $t=t_0$, la integral que define la LT no tiene su límite inferior en $0$, sino en $t_0.

Answer 3

No creo que tu pregunta haya sido respondida ya que simplemente se te proporciona la definición de la transformada de Laplace tal como ya la conoces. Aunque esta es una pregunta bastante antigua, otros usuarios pueden encontrarla útil. Tu forma de pensar es en parte correcta. Como sabes, la función escalón puede ser definida de hecho como $\frac{1}{2}$ para $t=0$. Ahora bien, la transformada de Laplace tiene en cuenta lo que sucede en $0$. Una definición completa de la transformada de Laplace, como también puedes leer en Wikipedia, es $$ \mathcal L \{ f\} (s) = \int_{0^{-}} ^{\infty} e^{-st}dt $$

Como puedes ver, la integral comienza con $0^{-}$. Por lo tanto, si ahora tomas tu definición de la función escalón, puedes continuar de esta manera

$$ \mathcal L \{ f\} (s) = \int_{0^{-}} ^{0^{+}} \frac{1}{2}e^{-st}dt + \int_{0^{+}} ^{\infty} e^{-st}dt $$

La primera integral será cero, ¡así que solo sobrevive la segunda! Es por eso que el $\frac{1}{2}$ no se olvida, pero su integral no sobrevive. De hecho, el $\frac{1}{2}$ está "entre" el cero, y su integral será cero. Tu $t_0$ es el punto donde empieza tu función, que en tu caso es $0^{-}$.