Teorema de Donsker - dos muestras

Question

Consideremos dos muestras independientes $X_1,\ldots,X_n$ y $Y_1,\ldots,Y_m$ a partir de dos funciones de distribución $F$ y $G$ . Sea $F_n$ y $G_m$ sean las correspondientes funciones de distribución empíricas. Intento comprender el Teorema de Donsker para la distribución conjunta de los procesos empíricos $(F_n-F)$ y $(G_m-G)$ .

Estoy leyendo el libro: Vaart, A. (1998). Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press.

En este libro se dice que (p. 299):

Sea $N=n+m$ y asumir que $m/N\to\lambda\in(0,1)$ . Por el Teorema de Donsker y el lema de Slutsky: $\sqrt{N}(F_n-F,G_m-G)\leadsto\Big(\frac{\mathbb{G}_F}{\sqrt{\lambda}},\frac{\mathbb{G}_G}{\sqrt{1-\lambda}}\Big)$ , donde $\mathbb{G}_F$ y $\mathbb{G}_G$ son puentes brownianos independientes.

¿Puede alguien darme una explicación intuitiva de este resultado y quizá recomendarme algunas referencias sobre este tema?

Gracias

Answer 1

Supongo que conoces la versión de 1 muestra del teorema de Donsker, donde tienes $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. y función de distribución empírica $F_n$ etc.

Como un intermedio entre eso y la configuración que usted describe es con $X_1,\ldots,X_n$ y $Y_1,\ldots,Y_n$ con $m=n$ en su configuración. La independencia de $F_n$ y $G_n$ significa que no hay nada entre ellos que no esté también presente en ellos marginalmente. Cada uno converge a un puente browniano independiente.

Un poco más general que eso es si $m$ y $n$ no son iguales, pero sí de magnitud comparable. Eso es lo que $\lambda$ se trata. Si $m=2n$ cabría esperar resultados similares a los de $m=n$ caso pero con esto & ese detalle cambió.

Ahora bien $m$ y $n$ no son de magnitud similar (digamos $m=n^2$ por ejemplo), las cosas se simplifican: la muestra es, en efecto, infinitamente grande, y las fluctuaciones de cualquier estadística muestral procederán en su mayor parte de la más pequeña. Pero esto va más allá del pasaje por el que pregunta.