Demuestre que $e^{\sqrt 2}$ es irracional

Question

Estoy tratando de demostrar que $e^{\sqrt 2}$ es irracional. Mi enfoque: $$ e^{\sqrt 2}+e^{-\sqrt 2}=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k}{(2k)!}=:2s $$ Defina $s_n:=\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{(2k)!}$ entonces: $$ s-s_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{2^k}{(2k)!}=\frac{2^{n+1}}{(2n+2)!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k}{\prod_{k=1}^{2k}(2n+2+k)}\\<\frac{2^{n+1}}{(2n+2)!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k}{(2n+3)^{2k}}=\frac{2^{n+1}}{(2n+2)!}\frac{(2n+3)^2}{(2n+3)^2-2} $$ Ahora supongamos $s=\frac{p}{q}$ para $p,q\in\mathbb{N}$ . Esto implica: $$ 0<\frac{p}{q}-s_n<\frac{2^{n+1}}{(2n+2)!}\frac{(2n+3)^2}{(2n+3)^2-2}\iff\\ 0<p\frac{(2n)!}{2^n}-qs_n\frac{(2n)!}{2^n}<\frac{2}{(2n+1)(2n+2)}\frac{(2n+3)^2}{(2n+3)^2-2} $$ Pero $\left(p\frac{(2n)!}{2^n}-qs_n\frac{(2n)!}{2^n}\right)\in\mathbb{N}$ lo que es una contradicción para grandes $n$ . Así $s$ es irracional. ¿Podemos de alguna manera usar esto para probar $e^\sqrt{2}$ ¿es irracional?

Answer 1

Dado que la suma de dos números racionales es racional, uno o los dos $e^{\sqrt{2}}$ y $e^{-\sqrt{2}}$ es irracional. Pero.., $e^{-\sqrt{2}}=1/e^{\sqrt{2}}$ , y por lo tanto ambos son irracionales.

Answer 2

$e^{\sqrt{2}}$ es trascendental por Teorema de Lindemann-Weierstrass :

Si $a\neq 0$ es algebraico, entonces $e^a$ es trascendental.

Está escrito en el lista de números trascendentales .

Answer 3

Para demostrar que $e^{\pm\sqrt{n}}\not\in\mathbb{Q}$ basta con explotar el Fracción continua de Gauss para $\tanh$ y Teorema de Lagrange sobre la periodicidad de fracciones continuas de irracionales cuadráticos.
Una explicación detallada de este enfoque (para $n=2$ ) se describe en esta respuesta .