una pregunta sobre las relaciones lineales

Question

Dado que $R\subseteq \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n$ se denomina relación lineal $\Leftrightarrow R$ es un espacio lineal.

Su relación inversa es $R^{-1}:=\{(y,x)\in \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n:(x,y)\in \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n $ .

Multiplicación con una relación $S\subseteq \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n$ es $RS=\{(x,y)\in \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n| \exists z\in \mathbb{C}^n:(x,z)\in S\wedge(z,y)\in R\}$

Ahora en el contexto del lápiz matricial $A+\lambda E\in \mathbb{C}^{n\times n}[\lambda]$ las matrices $A,E$ induce relaciones lineales $$\mathcal{A}=\{(x,Ax):x\in\mathbb{C}^n\}$$

$$\mathcal{E}=\{(x,Ex):x\in\mathbb{C}^n\}$$

$$\mathcal{A}^{-1}=\{(Ax,x):x\in\mathbb{C}^n\}$$

$$\mathcal{E}^{-1}=\{(Ex,x):x\in\mathbb{C}^n\}$$

ahora mi pregunta es por qué

1. $\mathcal{A}^{-1}\mathcal{E}=\{(x,y):x\in\mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n: Ex=Ay\}$ , $\mathcal{E}^{-1}\mathcal{A}=\{(x,y):x\in\mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^n: Ex=Ay\}$ en particular por qué este $Ax=Ey,Ex=Ay$ ¿entra en escena?

Comprendo $R$ es una relación sobre $\mathbb{C}^n$ y $x\sim y$ si $y=\lambda x$ ¿tengo razón? y además $R$ es una relación de equivalencia como $x\sim x\forall x,x\sim y\Rightarrow y\sim x, x\sim y,y\sim z\Rightarrow x\sim z$ Puedo probarlo.

gracias por su ayuda

Answer 1

1. Por definición, $RS$ es el conjunto de todas las tuplas $(x,y)$ donde hay algo de $(x,z)\in S$ y algunos $(z,y) \in R$ . Si $S$ y $R$ serían mapas lineales, esto se traduciría en $S$ mapas $x$ a $z(=Sx)$ y a su vez $R$ mapas $z$ a $y$ para que $RS$ mapas $x$ a $y$ .

Para su ejemplo concreto, $E=\{(x,Ex), x\in \mathbb C^n\}$ y $A^{-1}=\{(Ay,y), y \in \mathbb C^n\}$ . Hay un "elemento de conexión $z$ para $(x,y)$ si $z=Ex=Ay$ .