Tercio lo que escribió Mike: "definitivamente se necesita una base sólida en teoría de 1 categoría antes de aprender teoría de categorías superiores". Dicho esto, elaborando y exponiendo la sugerencia de janed0e, lo que sigue son dos planes de estudio según los conocimientos previos del estudiante. Por supuesto, no hay una forma canónica de abordar el aprendizaje de la teoría de categorías superiores, así que ajuste las lecturas según sea necesario. Nótese bien que, siguiendo la terminología moderna desarrollada por Joyal, las cuasicategorías son un modelo para ( $\infty$ , 1)-categorías. Siguiendo la terminología moderna desarrollada por Lurie, el uso no cualificado de ' $\infty$ -categoría" o $\infty$ -categorías" designa "( $\infty$ , 1)-categoría" y "( $\infty$ , 1)-categorías", respectivamente.
Suposición: El estudiante no tiene ningún conocimiento de la teoría de 1 categoría (o conjuntos simpliciales) y desea obtener el sabor de la teoría de infinito-categoría, sin empantanarse en detalles técnicos, en un tiempo tan corto como se puede esperar razonablemente. El supuesto implícito es que el estudiante dispone de un presupuesto de cero dólares.
Posible material de lectura y secuencia con la que leer:
0) J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker: Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos
1) G. Friedman: Introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales
2) J. Lurie: ¿Qué es ... un $\infty$ -¿Categoría?
3) M. Boyarchenko: Notas y ejercicios sobre $\infty$ -categorías
4) M. Groth: Un breve curso sobre $\infty$ -categorías ( http://www.math.ru.nl/~mgroth/preprints/groth_scinfinity.pdf )
Repitiendo lo que escribió Giorgio Mossa, (0) tiene un abundante número de ejemplos procedentes de la topología, el álgebra y la informática teórica. Como señaló Mike Shulman, (0) es bastante idiosincrásico. (0) utiliza el término 'cuasicategoría' para lo que Mac Lane llamó metacategorías. Véase la página de nLab metacategoría ( http://ncatlab.org/nlab/show/metacategory ) para más aclaraciones sobre el choque terminológico. (0) puede complementarse con videoconferencias de los Catsters ( http://www.scss.tcd.ie/Edsko.de.Vries/ct/catsters/linear.php ) y el Esquema de la teoría de categorías de Wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_category_theory ).
Suposición: El alumno tiene conocimientos de la teoría de 1 categoría (pero no de conjuntos simpliciales) y desea profundizar en la teoría de infinito-categoría, disponiendo de un tiempo "amplio".
Posible material de lectura y secuencia con la que leer:
0) P. G. Goerss y J. F. Jardine: Simplicial Homotopy Theory ( http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/libros/goerss-jardine.pdf )
1) J. Lurie: ¿Qué es ... un $\infty$ -¿Categoría?
( http://www.ams.org/notices/200808/tx080800949p.pdf )
2) M. Boyarchenko: Notas y ejercicios sobre la $\infty$ -categorías ( http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands/quasicategories.pdf )
3) M. Groth: Curso breve sobre $\infty$ -categorías
( http://www.math.uni-bonn.de/~mgroth/CategoríasInfinitas.pdf )
4) J. Lurie: Sobre la clasificación de las teorías de campos topológicos ( http://arxiv.org/abs/0905.0465 )
5) C. Simpson: Teoría de homotopías de categorías superiores.
( http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/44/98/26/PDF/main.pdf )
6) J. Lurie: Teoría de Topos Superiores
( http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf )
(4) puede ser más legible que (6), ya que (4) es un documento expositivo que da una informal de la clasificación de las teorías de campos topológicos utilizando la tecnología de ( $\infty$ n)-categorías. (4) puede complementarse muy bien con la serie de videoconferencias de Lurie sobre "Teorías cuánticas de campos topológicos y la hipótesis del cobordismo" ( http://lab54.ma.utexas.edu:8080/video/lurie.html ), así como la correspondiente de dicha conferencia ( http://www.ma.utexas.edu/users/plowrey/dev/rtg/notes/perspectives_TQFT_notes.html ).
(5) ofrece una amplia perspectiva de la investigación actual en teoría de categorías superiores.
(6) desarrolla en detalle la amplia generalización de la teoría de 1 categoría a ( $\infty$ 1)-teoría de categorías. Para más información sobre el aprendizaje de la teoría de categorías superiores, consulte este debate de nForum sobre la lectura de Higher Topos Theory de Lurie ( http://www.math.ntnu.no/~stacey/Mathforge/nForum/comments.php?DiscussionID=2748&page=1#Item_0 ).
Espero que esto ayude.
