Convergencia de funciones a otras funciones

Question

El teorema dice :

Si cada $v_n(x)$ es continua y $v_n(x)\rightarrow v_*(x)$ converge uniformemente (como $n \rightarrow \infty$ ), entonces $v_*(x)$ también es una función continua.

He intentado deducir la siguiente afirmación, si $v_*(x)$ es continua y $v_n(x)$ también es continua, entonces la secuencia de funciones debe converger uniformemente.

Pero al abrir el libro leo:

Advertencia: Una secuencia de funciones continuas puede converger de forma no uniforme a una función continua.

¿Cómo es eso? ¿No es esto una contradicción con la implicación del teorema?

Answer 1

Su afirmación deducida no es cierta: si $v(x) = 0$ y $v_n (x) = \begin{cases} 0, & x \le n \\ x-n, & n < x \le n+1 \\ 1, & n+1 < x \end{cases}$ entonces $v_n \to v$ son todos continuos, definidos en $\Bbb R$ pero $ \sup | v_n(x) - v(x)| = 1 \not\to 0$ lo que demuestra que la convergencia es no uniforme.