Distinción de grupos no isomorfos con una propiedad teórica de grupos

Question

Estoy dando un curso de primer semestre de álgebra abstracta y estamos hablando de isomorfismos de grupos. Para demostrar que dos grupos no son isomorfos, animo a los alumnos a que busquen una propiedad teórica de grupo que cumpla un grupo pero no el otro. No he dado un significado preciso a la expresión "propiedad teórica de grupo", pero algunos ejemplos del tipo de propiedades que tengo en mente son $$ \forall g,h\in G:\exists n,m\in\mathbb{Z}:(n,m)\neq (0,0)\wedge g^n=h^m,\\ \forall H\leq G:\exists g,h\in G:H=\langle g,h\rangle,\\ \forall g,h\in G:\exists i\in G: \langle g,h\rangle = \langle i\rangle $$ Uno de mis alumnos me preguntó si, dados dos grupos no isomorfos, siempre hay una propiedad teórica de grupo que cumple un grupo pero no el otro. En cierto sentido, "ser isomorfo a ese grupo de ahí" es una propiedad teórica de grupos. Pero esto no es realmente lo que tengo en mente.

Para precisar la clase de propiedades que tengo en mente, digamos que permitimos expresiones que impliquen

• cuantificación sobre $G$ subgrupos de $G$ y $\mathbb{Z}$ ,
• multiplicación de grupos, inversión y subgrupos generados por una lista finita de elementos
• el símbolo $1_G$ (el elemento de identidad del grupo),
• suma, resta, multiplicación, exponenciación (siempre que el exponente no sea negativo) y desigualdades de números enteros ,
• los símbolos enteros $0$ y $1$ ,
• elevar un elemento del grupo a una potencia entera, y
• igualdad, elementalidad y conectivos lógicos.

No sé mucho de teoría de modelos ni de lógica, pero tengo entendido que no se trata de la teoría de grupos de primer orden. En particular, esta pregunta MSE indica que existen un grupo de torsión y un grupo de no torsión que son elementalmente equivalentes (lo que significa que no pueden distinguirse mediante un enunciado de primer orden en el lenguaje de los grupos), pero estos grupos pueden distinguirse mediante una propiedad de la forma anterior. También he oído que los grupos libres de distinto rango son elementalmente equivalentes, pero también pueden distinguirse por una propiedad de la forma anterior.

Mis preguntas son:

(1) ¿Existe un nombre para la teoría que estoy considerando? ¿O algo estrechamente (o lejanamente) relacionado?

(2) ¿Existen ejemplos de grupos no isomorfos que no puedan distinguirse por una propiedad de la forma anterior? ¿Existen ejemplos en los que los grupos implicados puedan ser comprendidos por un estudiante medio de álgebra de primer semestre?

Answer 1

Primero, empecemos por la respuesta tonta. Tu lenguaje sólo tiene un número contable de expresiones diferentes, por lo que sólo puede dividir grupos en un número continuo de clases, ¡por lo que definitivamente hay grupos no isomorfos que no puede distinguir! En general, esto ocurrirá siempre que tu lenguaje tenga sólo set-many expresiones: se necesita una lógica del tamaño de una clase como $\mathcal{L}_{\infty,\infty}$ para distinguir entre todos los pares de estructuras no isomórficas.

Dicho esto, tienes razón en que estás ante algo mucho más fuerte que la lógica de primer orden. En concreto, estás describiendo una sublógica de lógica de segundo orden la diferencia clave es que la lógica de segundo orden permite cuantificar sobre subconjuntos arbitrarios del dominio, y de hecho funciones y relaciones de aridad arbitraria sobre el dominio, y no sólo subgrupos. La lógica de segundo orden no tiene una capacidad explícita para referirse a (digamos) números enteros, pero puede hacerlo mediante trucos de cuantificación sobre configuraciones finitas.

Aunque la fuerza exacta del sistema que describes no me queda clara, se sabe que la lógica de segundo orden es extremadamente potente. En particular, creo que no se conocen ejemplos naturales de estructuras no isomórficas de segundo orden elementalmente equivalentes. en absoluto aunque, según el primer párrafo de esta respuesta, estas estructuras tienen que existir. Así pues, la equivalencia de segundo orden es una relación de equivalencia bastante fuerte y, en la práctica, bastará para distinguir todos los grupos en los que se encuentren sus alumnos.