Demuestre que el conjunto $\{5, 15, 25, 35\}$ es un grupo bajo multiplicación modulo $40$ . ¿Existe alguna relación entre esto y $U(8)$ ?
Me está costando mucho empezar esta prueba. Todo esto es abstracto para mí.
Respuestas
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Travis
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Pista: Como sólo hay cuatro elementos (y el grupo es abeliano porque la multiplicación es conmutativa), es fácil escribir la tabla de multiplicar y comprobar los axiomas directamente.
Por ejemplo, se observa que $25 \cdot g = g$ para todos $g$ en el conjunto, por lo que $25$ es la identidad.
Para el axioma de asociatividad, no es necesario utilizar la tabla de multiplicar, puesto que ya sabemos que la operación de grupo (multiplicación módulo a un número dado) es asociativa.
Existe una relación entre esto y la anillo $U(8)$ . En concreto, podemos considerar el grupo $U(8)^* = \{1, 3, 5, 7\}$ de elementos invertibles en $U(8)$ y éste resulta ser isomorfo al grupo dado (ambos son isomorfos al grupo Klein $4$ -grupo, $U(2) \times U(2)$ ).
Johanna
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Bueno, es álgebra abstracta... Bromas aparte, ¿conoces los axiomas de un grupo? Tienes que comprobar, para cada par de elementos del conjunto, que el producto mod $40$ todavía está en el conjunto, encuentra la identidad (debería aparecer cuando compruebes el cierre), y una inversa para cada elemento. Para un conjunto como éste, puedes hacer cada cálculo a mano (después de todo, sólo hay tres posibilidades para cada inverso). La ley de asociatividad se deduce de la asociatividad de los números enteros.
Una vez que tengas que es un grupo, puedes establecer la tabla de multiplicar, y compararla con la tabla de multiplicar de $U_8$ . A ver si encuentras alguna similitud.
Comenta si necesitas que te dé más detalles.
