¿Cuántos números pares de cuatro cifras distintas mayores que 5000 son posibles? Por favor, ayúdame
Los únicos mil dígitos que son posibles 5,6,7,8,9. Los únicos cien dígitos posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Los únicos diez dígitos posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Las únicas unidades posibles son 2, 4, 6, 8 5x9x9x4=1620
Puede que haya una solución más bonita a este problema, pero yo utilizaría alguna variación de un árbol de decisión:
Las capas son los dígitos elegidos de izquierda a derecha empezando por los miles, y los círculos beige y azul son las opciones impar y par respectivamente. Cada rama tiene el producto tomado y las diferentes alternativas (excluyentes) sumadas a 1288.
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Respuesta de fleablood da un orden mucho mejor para elegir los dígitos: primero, luego el último, luego los demás. Un diagrama para esto podría ser:
El primer dígito puede ser $5,6,7,8,9$ . Son cuatro posibilidades.
El segundo dígito puede ser cualquiera de los diez $0,1,2..., 9$ (por alguna inexplicable razón no incluyó $0$ ), pero la segunda cifra debe ser diferente de la primera. Por tanto, hay $9$ opciones.
El tercer dígito debe ser diferente de los dos primeros para que haya $8$ opciones.
El cuarto debe ser diferente para los tres primeros por lo que hay $7$ opciones.
El último dígito debe ser par por lo que es $0,2,4,6,8$ y debe ser diferente que los cuatro primeros y ... no tenemos ni idea de cuántos de los cuatro primeros son incluso o no. Así que nos encontramos en los Alpes. Dang.
Empieza de nuevo.
Haz dos casos. O bien el primer número es par $6,8$ (2 opciones) o es $5,7,9$ (3 opciones).
Ese último dígito debe ser par, por lo que si el primero es par, el segundo debe ser diferente, por lo que hay $4$ opciones porque debe ser diferente. Si la primera no es ni siquiera hay $5$ opciones.
El segundo dígito es diferente del primero o del último, por lo que hay $8$ opciones.
El tercer dígito debe ser diferente de los otros tres para que haya $7$ opciones.
Así que si el primer dígito es par hay $2*4*8*7$ . Y si el primer dígito no es par hay $3*5*8*7$ .
Así que hay $2*4*8*7 + 3*5*8*7 = (2*4 + 3*5)*8*7 = (8+15)*56 = 23*56= 1288$ esos números.
La pregunta dice dígitos distintos, por lo que si un dígito aparece en el lugar de las centenas, no debe aparecer de nuevo en el lugar de las decenas como ejemplo.
Tome el caso de 5 en el lugar de miles. Tenemos cinco opciones para el lugar de unos $\{ 0,2,4,6,8 \}$ . Si elegimos cualquier dígito para el lugar de las unidades, ese dígito estará prohibido en los lugares de las decenas y las centenas.
Esto significa que para el lugar de las centenas están prohibidos dos dígitos (5 para el lugar de los millares y un dígito para el lugar de las unidades), por lo que tenemos 8 opciones para el lugar de las centenas.
Del mismo modo, ahora para el lugar de las decenas se prohíben tres dígitos (5 para el lugar de los millares, un dígito para el lugar de las unidades y otro para el lugar de las centenas), por lo que tenemos 7 opciones para el lugar de las decenas.
Así, tenemos 1 * 5 * 8 * 7 opciones para números pares de cuatro cifras distintas mayores que 5000 (que empieza por 5).
Puedes considerar los casos en los que el lugar del millar ocupa 6, 7, 8 ó 9.
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