$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ vs $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{p^n}=q$

Question

Se me acaba de ocurrir que los exponentes conjugados, es decir. $p,q\in(1,+\infty)$ tal que $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$$ también satisfacen las relaciones:

• $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{p^n}=q;$
• $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{q^n}=p.$

Nunca vi que se utilizara este hecho en el estudio de $L^p$ espacios... ¿alguien conoce alguna aplicación de estas relaciones en ese contexto?

Answer 1

En el estudio de $L^p$ espacios, creo que esto implica, por ejemplo, que se cumple una generalización particular de la desigualdad de Hölder: Sea $f_n \in L^{p^n}$ para $n \in \mathbb N$ . Entonces

$$\left\Vert \prod_{n=0}^\infty f_n\right\Vert_{1/q} \leq \prod_{n=0}^\infty \Vert f_n \Vert_{p^n}.$$

Esto se puede demostrar pasando al límite ici . Estoy seguro de que se pueden construir más aplicaciones igualmente artificiales de este resultado.

Edición: Resulta que lo que he dicho aquí es en realidad una c especial t .