Cálculo de la diferencial del mapa cociente mediante curvas

Question

Podemos ver el espacio proyectivo $P(\mathbb R^n)$ como cociente de $S^n/\sim$ donde $x \sim y$ sólo si $x = -y$ .

El mapa cociente $F: S^n \to P(\mathbb R^n)$ es el mapa $x \mapsto [x]$ donde $[x] = \{x,-x\}$ .

Estoy intentando calcular el diferencial de $F$ en un punto $x$ . Lo denotaré $d_xF$ . Primero, intenté hacerlo por $S^2$ .

Esto es lo que hice en el caso $n=2$ :

Por definición, $d_xF = {d\over dt}(F\circ \gamma)(0)$ donde $\gamma : (-1,1) \to S^2$ es una curva tal que $\gamma (0) = x$ y ${d\over dt}\gamma (0) = v$ (aquí $v$ es un vector tangente a $x$ ).

Mi primera confusión surgió de la definición: No puedo calcular $F'$ desde $F$ no es un mapa en $\mathbb R^n$ sino un mapa entre variedades arbitrarias. Sin embargo, la definición requiere (aplicando la regla de la cadena de la derivada) que calculemos $F'$ desde $dF = F'\circ \gamma (0) \cdot \gamma '(0)$ .

¿Qué me estoy perdiendo? ¿Por qué no necesitamos calcular $F'$ ?

He resuelto este problema sustituyendo la curva y tomando la derivada de la siguiente manera:

La primera curva que he utilizado es $\gamma_1: (-1,1) \to \S^2$ , $(\cos t, \sin t , 0)$ . Entonces $\gamma_1(0) = (1,0,0)$ y $(F \circ \gamma)' (0) = [(-\sin t, \cos t, 0)]$ en $0$ que es igual a $[(0,1,0)]$ .

A continuación utilicé $\gamma_2(t) = (0,\cos t , \sin t)$ para que $dF(0,1,0) = [(0,0,1)]$ y

$\gamma_3(t) = (\sin t, 0 , \cos t)$ para que $dF(0,0,1) = [(1,0,0)]$ .

Por lo tanto

$$ d_xF = \left ( \begin{matrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right )$$

¿Es correcto?

Y si es así,

¿Cómo puedo generalizar al caso de arbitrariedad $n$ ?

Answer 1

Creo que el problema básico que tienes (en cualquiera de los enfoques) es que necesitas una realización de los espacios tangentes de $P(\mathbb R^{n+1})$ antes de intentar calcular la derivada. Se empieza con $S^n$ como un submanifold de $\mathbb R^{n+1}$ por lo que se ven sus espacios tangentes como subespacios lineales de $\mathbb R^{n+1}$ . Pero $P(\mathbb R^{n+1})$ no puede incrustarse en $\mathbb R^{n+1}$ (y ver los espacios proyectivos como submanifolds es notoriamente complicado). Así que lo más fácil será verlo como un colector abstracto. Para ello, puedes introducir coordenadas locales como se sugiere en el comentario de @John_Ma o ver los vectores tangentes como derivaciones que actúan sobre funciones suaves. Por último, también puedes utilizar que el mapa $F$ que defines es un difeomorfismo local. Esto significa que puedes ver el haz tangente $TP(\mathbb R^{n+1})$ como $TS^n/\sim$ donde la relación de equivalencia viene definida por $(x,v)\sim (-x,-v)$ . En esta foto, $F'$ en realidad es la forma natural de identificar $T_xS^n$ con $T_{F(x)}P(\mathbb R^{n+1})$ .

También se podría seguir la aproximación iniciada, extendiendo la proyección del cociente a una vecindad abierta de $S^n$ . Pero en cualquier caso, no se puede esperar obtener ninguna "fórmula" para $F'$ sin especificar una descripción explícita de los espacios tangentes de $P(\mathbb R^{n+1})$ .

Answer 2

Permítanme ampliar un poco más la excelente respuesta de Andreas Cap. Creo que la única confusión es la que tú has llamado tu primera confusión: Tienes que entender lo que el diferencial de un mapa $F: M \to N$ entre variedades abstractas $M,N$ hace. Su $dxF$ es en realidad un mapa lineal entre los espacios tangentes $T_x S^2 \to T_{[x]} P(\Bbb R^3)$ . Así que primero hay que entender qué son esos espacios tangentes.

Existen múltiples formas equivalentes de definir los vectores tangentes. Una es decir que un vector tangente $X$ en $p \in M$ es un $\Bbb R$ -mapa lineal $X: C^{\infty} (M) \to \Bbb R$ para lo cual $X(fg) = f(p) X(g) + X(f) g(p)$ retenciones. Un mapa de este tipo se denomina derivación. Se puede demostrar que las derivaciones en $p$ forman un espacio vectorial: el espacio tangente a $p$ . En este sentido, el diferencial $d_p F$ aplicado a un vector tangente $X$ tiene que ser una derivación de nuevo, así que tenemos que decir, lo que hace a una función $g \in C^{\infty} (N)$ . La definición es: $d_p F (X) (g) = X(g \circ F)$ .

Otra forma de definir los vectores tangentes es decir que un vector tangente es una clase de equivalencia de curvas suaves $\gamma: [- \epsilon, \epsilon] \to M$ , dónde curvar $\gamma, \delta$ son equivalentes, sif $(x \circ f)'(0) = (x \circ g)'(0)$ donde $(U,x)$ es un gráfico en torno a $p$ . Tenga en cuenta que $x \circ f$ es una curva $\Bbb R \to \Bbb R^{\dim M}$ por lo que sólo hay que conocer la diferenciación real. (¿Por qué esta definición está bien definida, por ejemplo, independientemente de la elección de gráficos (compatibles)? Normalmente se escribe que $X = d/dt|_{t=0} {\gamma} (t) \in T_p M$ . En este sentido, el diferencial $d_p F$ apllied to $X$ necesita ser otra clase de equivalencia de curvas y esto se hace como sigue: $d_p F (X)$ es la clase de equivalencia de la curva $F \circ \gamma: [-\epsilon, \epsilon] \to N$ . (De nuevo: ¿Por qué está bien definido?) Esto equivale a lo que has escrito: $d_p F (d/dt|_{t=0} \gamma (t)) = d/dt|_{t=0} (F \circ \gamma) (t)$ .

En todos los libros de geometría diferencial se dice que estas dos definiciones son equivalentes. Además, dada una gráfica $(U,x)$ en torno a $p$ existen las bases estándar $\frac{\partial}{\partial x^i} \big\vert_p$ ( $i = 1, \dots , \dim M$ ), donde para $f \in C^{\infty} (M)$ el vector tangente $\frac{\partial}{\partial x^i} \big\vert_p$ envía $f$ a la $i$ derivada parcial de $f \circ x^{-1}$ en $x(p)$ . Así que el uso de gráficos es la única manera de escribir el diferencial $d_p F$ ¡como una matriz! En tu caso, necesitas especificar un gráfico alrededor de $x \in S^2$ (las proyecciones estereográficas, por ejemplo) y un gráfico en torno a $[x]$ en $P( \Bbb R^3)$ y entonces puedes escribir $d_x F$ como matriz respecto a la base estándar de $T_x S^2T$ y $T_{[x]} P( \Bbb R^3)$ en función de los gráficos elegidos.