Topologías en un infinito grupo simétrico

Question

Deje $X$ ser un conjunto infinito, y deje $G$ ser el grupo simétrico de a $X$. Quiero entender $G$ poniendo una topología en él, sin imponer más estructura en $X$. Lo 'interesante' posibilidades hay y lo que se sabe acerca de ellos?

En particular, he oído hablar de la pointwise de la topología de la convergencia (open barrio de g es un conjunto de permutaciones que estar de acuerdo en algo de lo especificado conjunto finito de puntos), y encontré varios artículos sobre esto, pero hay otras topologías que se han estudiado?

Lo que si puedo tomar el más áspero de la topología compatible con el grupo de operaciones tales que a) el estabilizador de cualquier subconjunto cerrado, b) el estabilizador de cualquier partición está cerrado, o c) ambos están cerradas? Yo creo que estos serán más gruesas que las pointwise de la topología de la convergencia, debido a que en el pointwise convergencia de la topología de la estabilizador de primer orden de la estructura es cerrada. Hay un útil caracterización de la open sub-grupos y/o subgrupos cerrados?

Answer 1

Se sabe que hay exactamente dos separables grupo de topologías en $S_\infty$ (es decir, en el grupo de permutaciones de un contable): uno es antidiscrete y la otra es la topología de pointwise convergencia. Esta es una declaración del Teorema 6.26 en aquí. Por lo tanto polaco topología en $S_\infty$ es único.

Hay algunos resumen de las caracterizaciones de cerrado subgrupos, por ejemplo, son exactamente los grupos polacos con una contables base de la identidad que consiste en abrir los subgrupos. Otra caracterización es la siguiente: un grupo polaco G es homeomórficos a un subgrupo cerrado de $S_\infty$ si y sólo si se admite una compatible izquierda invariante ultrametric. Usted puede desear mirar en la Sección 1.5 de Becker y Kechris "El Descriptivo de la Teoría de conjuntos de Grupo polaco de Acción".