Nota: en el transcurso de este verano, que he tomado de la Geometría y el Precálculo, y estoy muy emocionado de estar tomando Cálculo 1 el próximo año (Sophomore para mí). En esta pregunta, voy a usar las cosas que yo sé de Cálculo, pero quiero recalcar que no he tomado el curso, así que por favor tengan paciencia conmigo. Esto será largo.
Entre otras fórmulas Geométricas que he aprendido recientemente, actualmente estoy tratando de demostrar que el área de la superficie de una esfera es de $4\pi r^2$. Intuitivamente, esto parece bastante sencillo para mí, pues ya he probado el volumen de una esfera mediante la integración de los $\frac{4}{3} \pi r^3$, y que la integral de la circunferencia de un círculo es su área. El uso de estos dos hechos juntos, tiene sentido que la integral de la superficie de una esfera que debe ser su volumen, lo que me llevó a creer que la fórmula para el área de la superficie se indicó anteriormente.
Sin embargo, este es un argumento débil, ya que la relación entre la circunferencia de la zona y de área a volumen sin mucha prueba. Como una alternativa, he hecho una prueba que implican infinitas sumas de las áreas laterales de los cilindros exprimido en una esfera. Uno puede utilizar este método de infinito cilindros para demostrar que el volumen de una esfera, pero cuando he intentado casi exactamente lo mismo para el área de superficie, he encontrado que el valor de pi es 4.
Sólo he oído hablar de un otro extraño prueba que conduce a este resultado, que puede ser encontrado aquí: Es el valor de $\pi = 4$. Rápidamente fue desmentido en numerosas formas, algunos de ellos aquí:Cómo convencer a un laico que el π=4 prueba de que está mal?
Hasta donde yo sé, no hay nada malo con mis matemáticas -- lo más probable es que, simplemente, establecer el problema de forma incorrecta. Esto es lo que hice:
Considere la posibilidad de una esfera de radio $r$, alineado con el plano de coordenadas de manera que su centro es el origen. Para aproximar el área de la superficie (o volumen) de esta esfera, podemos imaginar la guarnición $n$ cilindros apilados en ella, cada uno con un centro en la línea de $x = 0$. Cada cilindro tiene una altura $h$ o $\Delta$ y.
Desde la altura de la esfera es de $2r$,
$h = \frac{2r}{n}$
Buscando en una sección transversal de esta esfera, el radio de cada cilindro debe satisfacer la ecuación:
$r_i^2 + y^2 = r^2$
donde $r_i$ es el radio del cilindro con índice i$$, y el radio de la esfera es de $r$. Ahora, tenemos la suma de las áreas laterales de los cilindros para obtener una aproximación del área de la superficie de la esfera. Como $n \rightarrow \infty$, nuestra aproximación se pone mejor, así que
$A = \lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=1}^n{2\pi r_i (\frac{2r}{n})}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=1}^n{2\pi r_i \Delta y}}$
En otras palabras:
$\int_{-r}^r{2\pi r_i dy}$
Y como ya sabemos,
$r_i = \sqrt{r^2-y_i^2}$
Así que sustituimos y llevar a cabo constantes:
$2\pi \int_{-r}^r{\sqrt{r^2-y^2} dy}$
A partir de aquí, tenemos dos opciones: 1) Tomar la integral y encontrar algo muy sucio; 2) Reconocer que la expresión dentro de la integral es sólo un semicírculo, y que un semicírculo que tiene la mitad del área de un círculo.
La elección de la opción 2), que terminan con:
$2\pi \frac{\pi r^2}{2} = \pi^2 r^2$
Lo que evidentemente no es el área de la superficie de una esfera, pero no puedo averiguar por qué. Extrañamente, otra "prueba" de que lo hice también condujo a este resultado. Tomar el semicírculo $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ con arclength $\pi r$ y girar sobre el eje x $2\pi$ radianes. Ahora tenemos una esfera, con superficie de $2\pi^2 r^2$. Es evidente que algo falla aquí, pero se hace extraño. Si al mismo tiempo aceptar Arquímedes prueba de la superficie de una esfera, podemos encontrar:
$\pi^2 r^2 = 4\pi r^2$
Y por "problemas para $\pi$," nos encontramos con que: $\pi = 4$.
Yo no estoy buscando una mejor prueba o alguien de convencerme de que Arquímedes es correcto, ya que estoy totalmente de aceptar el libro de texto de la fórmula y se han utilizado otras pruebas para demostrarlo. Tengo la sensación de que puede que se me han acercado a la esfera en un "no-suave", ya que la forma de zig-zag, de forma que los cilindros de hacer es extrañamente como el método utilizado en el clásico de $\pi = 4$ prueba, y cuando he usado la poligonal aproximaciones tengo una respuesta válida. Gracias por leer todo el camino a través de este, y ¿alguien sabe cómo me equivocaba?
