La gavilla de torsión es invertible.

Question

Tengo una pequeña duda en la prueba del libro de Hartshorne del hecho de que $\mathcal{O}(1)$ es localmente libre. La cuestión es que basta con demostrar que

$$ \mathcal{O}(1)(D^{+}(f)) \cong \mathcal{O}(D^{+}(f))$$

para demostrar que $$\mathcal{O}(1)|_{D^{+}(f)} \cong \mathcal{O}|_{D^{+}(f)}$$

¿Qué ocurre en caso de $U \subset D^{+}(f)$ ?

Answer 1

Desde $D_{+}(f)=\mathrm{Spec}S_{(f)}$ es un esquema afín y ambas láminas son cuasi-coherentes (como señala Hoot en los comentarios), Hartshorne utiliza en esta demostración que para esquemas afines $X=\mathrm{Spec}A$ el functor

$$ M \mapsto \tilde{M} $$

(donde $\tilde{M}$ es la gavilla asociada a $M$ como se describe en el mismo libro, enviando un subconjunto abierto $U$ de $X$ al módulo de secciones de la proyección $\sqcup_{\mathfrak{p}\in U} M_{\mathfrak{p}} \to U$ que localmente parecen fracciones $\frac{m}{f}$ con $m\in M$ y $f\in A$ ) induce una equivalencia de categorías entre $A$ -y cuasicoherentes $\mathcal{O}_{X}$ -con inverso el functor "tomando secciones globales":

$$ \mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}(X) $$

Así, el isomorfismo entre las secciones globales nos da el isomorfismo natural deseado entre las gavillas de módulos.