Demostrando que el campo de fracciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es $\mathbb{Q}[\sqrt{d}].$

Question

Sea $d\in\mathbb{Z}$ sea un número entero que no sea un cuadrado. Sea $\sqrt{d}\in \mathbb{C}$ sea una raíz cuadrada de $d$ . Sea $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]:=\left\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ . Sea $F$ sea su campo de fracciones. Demostrar que $F$ puede identificarse con $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]:=\left\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbb{Q}\right\}$ .

Mi solución. Con $f:F\to \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ por $f((a+b\sqrt{d},a'+b'\sqrt{d}))=\frac{a+b\sqrt{d}}{a'+b'\sqrt{d}}=\frac{aa'-bb'd}{a'^2-b'^2d}+\frac{a'b-ab'}{a'^2-b'^2d}\sqrt{d}$ . Debe demostrarse que $f$ es un isomorfismo de anillo y biyectivo, pero es demasiado tedioso.

¿Hay alguna forma más sencilla de demostrar que $F$ y $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ son isomorfas?

Answer 1

Buena pregunta. Tu enfoque está bien, y tienes razón en que es tedioso. Aquí hay otra. Que $R$ sea un dominio integral y $F$ un campo junto con un mapa $R \to F$ . Podemos demostrar que $F$ es el campo de fracciones de $R$ demostrando que es el campo más pequeño que contiene $R$ .

Ahora es obvio que $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ contiene $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ y es obvio que cualquier campo que contenga $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ debe contener $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ ya que los elementos de la forma $m$ y $n \sqrt{d}$ tienen que ser invertibles. Así que lo único que hay que comprobar es que $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es un campo, es decir, hay que demostrar que los elementos distintos de cero tienen inversos.

Answer 2

Si $\alpha\in\Bbb{C}$ es algebraico, lo que significa que existe un polinomio $p\in\Bbb{Q}[x]$ tal que $p(\alpha) = 0,$ de hecho tenemos $$ \operatorname{Frac}(\Bbb{Z}[\alpha]) = \Bbb{Q}[\alpha], $$ donde \begin{align*} \Bbb{Z}[\alpha] &:= \{p(\alpha)\in\Bbb{C}\mid p\in\Bbb{Z}[x]\}\\ \Bbb{Q}[\alpha] &:= \{p(\alpha)\in\Bbb{C}\mid p\in\Bbb{Q}[x]\}. \end{align*} Es decir, elementos $\beta\in\Bbb{Z}[\alpha]$ (respectivamente, $\beta\in\Bbb{Q}[\alpha]$ ) son números complejos de la forma $$ \beta = \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i, $$ donde $a_i\in\Bbb{Z}$ (respectivamente, $a_i\in\Bbb{Q}$ ).

Como en la respuesta de hunter, vemos que cualquier campo que contenga $\Bbb{Z}[\alpha]$ debe contener $\Bbb{Q}[\alpha],$ así que sólo queda demostrar que $\Bbb{Q}[\alpha]$ es un campo.

Puedes demostrarlo utilizando el algoritmo polinómico euclidiano. Sea $g\in\Bbb{Q}$ sea un polinomio tal que $g(\alpha)\neq 0.$ Queremos demostrar que $\frac{1}{g(\alpha)}\in\Bbb{Q}[\alpha].$ Por lo tanto, observe en primer lugar que $g$ es relativamente primo del polinomio mínimo $f$ de $\alpha.$ El algoritmo euclidiano implica entonces que se pueden encontrar dos nuevos polinomios $h,k\in\Bbb{Q}[x]$ tal que $fh + gk = 1.$ Evaluar en $\alpha$ encontramos \begin{align*} 1 &= f(\alpha)h(\alpha) + g(\alpha)k(\alpha)\\ &= 0 + g(\alpha)k(\alpha), \end{align*} para que $k(\alpha) = \frac{1}{g(\alpha)}.$ Así, $\Bbb{Q}[\alpha]$ es un campo.