Me dan la ecuación $ 24x^3-14x^2-63x+K=0$ y se me pide que encuentre los valores de $K$ Si una raíz es el doble de la otra raíz.
¿Cómo lo solucionaría? Estoy tratando de resolver esto tomando dos raíces como A,2A y la tercera B luego usando suma y productos de raíces escribí tres ecuaciones.
Utilizando las fórmulas de Viete para las raíces $x$ , $2x$ , $y$ de la ecuación $24x^3-14x^2-63x+K=0$ obtenemos un sistema de ecuaciones $$3x+y=\frac{7}{12},$$ $$3xy+2x^2=-\frac{21}{8},$$ $$K=-48x^2y.$$ A partir de la primera ecuación $y=\frac{7}{12}-3x$ sustitúyalo en la segunda ecuación para obtener $8x^2-2x-3=0$ . Ahora es fácil concluir que las soluciones son $$(x,y)\in\{(\frac{3}{4},-\frac{5}{3}),(-\frac{1}{2},\frac{25}{12})\}.$$ Por último, calcule $K$ de la tercera ecuación, para esos valores $x$ y $y$ : $$K\in\{45,-25\}.$$
La solución es calculable con simple aritmética mental si eliminamos las fracciones escalando el polinomio por $72$ para transformarlo de modo que tenga coeficientes principales $=1\ $ ( Método AC ). $ $ El resultado es
$$\quad\ X^3 - 7 X^2 -63\cdot 6 X + 72K = 0,\ \ X = 12x$$
En términos más generales $\ X^3 - a\, X^2 + b\, X + c = 0\ $ con raíces $\,X,\,2X,\, Y.\ $ Por Vieta
$$3X+Y = a,\ \ 3XY+2X^2 = b$$
Elimine $Y$ y escala por $\,7\,$ para obtener $\ (7X)^2 - 3a (7X) + 7b = 0\ $ con solución
$$7X = (3a\pm d)/2,\ \ d = \sqrt{9a^2-28b}\qquad $$
En OP $\,\ 9a^2\!-28b = 9(7)^2\!+4\ 7\ (3^2\ 7\ 6) = 3^2 7^2 (1\!+\!24) =(3\ 7 \ 5)^2 = 105^2 $
Por lo tanto $\ X = (21\pm 105)/14 = 9,\, -6,\ \ $ así que $\ \ Y = 7-3X = -20,\, 25$
que $ $ implica $\ \ x = X/12 = 3/4,\, -1/2\ \ $ y $\ \ y = Y/12 = -5/3,\, 25/12$
Supongamos que $x^3-\frac{7}{12}x^2-\frac{63}{24}x+\frac{K}{24}=(x-a)(x-2a)(x-b)$ .
Así que $\frac{63}{24}=2a^2+3ab$ y $\frac{7}{12}=-3a-b$ .
Concluimos $b=-3a-\frac{7}{12}$ .
Así que debemos resolver $\frac{63}{24}=2a^2-3a(3a+\frac{7}{12})$ .
Desde aquí puedes encontrar $a$ y una vez que haya $a$ obtienes $b$ .
Por último $K=24(-2a^2b)$
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