Derivación de la forma integral de los polinomios de Legendre a partir de la forma derivada

Question

Tengo los polinomios de Legendre $P_n(x)= \frac{1}{n!2^n}\frac{d^n}{dx^n} (x^21)^n$ y tenemos que demostrar/derivar la forma integral $P_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi}(x+\sqrt{1x^2}\cos t)^n dt$ para $|x|<1$ expresando la forma derivada como una integral compleja

Así que, tal y como yo lo entiendo, obtengo $P_n (x) = \frac{1}{n!2^n} \int \frac{d^n}{dz^n} (z^2 - 1)^n dz$ . No estoy seguro de si esto es correcto y cómo seguir adelante? Cualquier consejo será muy apreciado

Answer 1

Empezamos con la fórmula de Rodrigue \begin{eqnarray*} P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n. \end{eqnarray*} Utilizando la $n^{th}$ fórmula derivada tenemos la fórmula de Schlafli \begin{eqnarray*} P_n(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{(t^2-1)^n}{2^n(t-x)^{n+1}} dt \end{eqnarray*} donde $C$ es cualquier contorno que rodea $t=x$ .

Ahora elige este contorno para que sea \begin{eqnarray*} t=x + (x^2-1)^{1/2} e^{i \phi} \end{eqnarray*} donde $\phi$ varía de $- \pi$ a $ \pi $ ... dando \begin{eqnarray*} P_n(x) = \frac{ 1}{ 2 \pi} \int_{- \pi }^{\pi} ( x+ (x^2-1)^{1/2} \cos( \phi ) )^{n} d \phi. \end{eqnarray*} Por último, obsérvese que el integrando es una función par de $\phi$ por lo que el intervalo se puede dividir por la mitad y se obtiene la fórmula deseada.

Edición: Tenga en cuenta que \begin{eqnarray*} t^2-1 &=& x^2-1 + 2x(x^2-1)^{1/2}e^{i \phi} + (x^2-1)e^{2 i \phi} \\ &=& (x^2-1)^{1/2}e^{i \phi}(2x + (x^2-1)^{1/2}(e^{ i \phi}+ e^{ -i \phi}))\\ &=& 2 (x^2-1)^{1/2}e^{i \phi}(x + (x^2-1)^{1/2}\cos \phi ).\\ \end{eqnarray*}