Si $\frac{x^2+y^2+x+y-1}{xy-1}$ es un número entero para números enteros positivos $x$ y $y$ su valor es $7$ .

Question

He visto esto en quora y no he podido resolverlo.

Si $\dfrac{x^2+y^2+x+y-1}{xy-1}$ es un número entero para números enteros positivos $x$ y $y$ , entonces su valor es $7$ .

Si $y=1$ esto es $\dfrac{x^2+x+1}{x-1} = x+2+\dfrac{3}{x-1}$ que es un número entero sólo cuando $x=2$ o $x=4$ y tiene valor $7$ .

Observando los valores de 2 a 20 para $x$ y $y$ , es un número entero sólo para $x=2, y=12$ (y $x=12, y=2$ ). Este valor es 7.

Así que parece que esto podría ser correcto, y no sé cómo mostrarlo.

Answer 1

Sólo hay dos tipos: para los enteros $k$ buscamos puntos enteros en el arco de $$x^2 - kxy + y^2 + x + y = 1 -k$$ entre líneas $ky = 1 + 2x$ y $kx = 1+2y$

Para $k > 7$ el arco incluye un punto $(t,t)$ con $1 < t < 2$

El cálculo mostrará que, para $x=2,$ tenemos $y < 1,$ y el mínimo (local) $y$ se produce exactamente donde la línea $ky = 1+2x$ interseca la hipérbola.

Aquí está $k=10$

para $k < 7$ el mínimo local está por encima de $1$ pero las líneas inclinadas están más juntas...

Menciono un segundo sabor, esos son cuando $x^2 + kxy + y^2$ es un número pequeño y la imagen se gira.